Manual do Maxima: 15. Trigonometria

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# 15. Trigonometria

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## 15.1 Introdução ao Pacote Trigonométrico

Maxima tem muitas funções trigonométricas definidas. Não todas as identidades trigonometricas estão programadas, mas isso é possível para o usuário adicionar muitas delas usando a compatibilidade de correspondência de modelos do sistema. As funções trigonométricas definidas no Maxima são: `acos`, `acosh`, `acot`, `acoth`, `acsc`, `acsch`, `asec`, `asech`, `asin`, `asinh`, `atan`, `atanh`, `cos`, `cosh`, `cot`, `coth`, `csc`, `csch`, `sec`, `sech`, `sin`, `sinh`, `tan`, e `tanh`. Existe uma coleção de comandos especialmente para manusear funções trigonométricas, veja `trigexpand`, `trigreduce`, e o comutador `trigsign`. Dois pacotes compartilhados extendem as regras de simplificação construídas no Maxima, `ntrig` e `atrig1`. Faça `describe(comando)` para detalhes.

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## 15.2 Funções e Variáveis Definidas para Trigonometria

Função: acos (x)

  - Arco Cosseno.

Função: acosh (x)

  - Arco Cosseno Hiperbólico.

Função: acot (x)

  - Arco Cotangente.

Função: acoth (x)

  - Arco Cotangente Hiperbólico.

Função: acsc (x)

  - Arco Cossecante.

Função: acsch (x)

  - Arco Cossecante Hiperbólico.

Função: asec (x)

  - Arco Secante.

Função: asech (x)

  - Arco Secante Hiperbólico.

Função: asin (x)

  - Arco Seno.

Função: asinh (x)

  - Arco Seno Hiperbólico.

Função: atan (x)

  - Arco Tangente.

Função: atan2 (y, x)

  - retorna o valor de `atan(y/x)` no intervalo de `-%pi` a `%pi`.

Função: atanh (x)

  - Arco tangente Hiperbólico.

Pacote: atrig1

  O pacote `atrig1` contém muitas regras adicionais de simplificação para funções trigonométricas inversas. Junto com regras já conhecidas para Maxima, os seguintes ângulos estão completamente implementados: `0`, `%pi/6`, `%pi/4`, `%pi/3`, e `%pi/2`. Os ângulos correspondentes nos outros três quadrantes estão também disponíveis. Faça `load(atrig1);` para usá-lo.

Função: cos (x)

  - Cosseno.

Função: cosh (x)

  - Cosseno hiperbólico.

Função: cot (x)

  - Cotangente.

Função: coth (x)

  - Cotangente Hyperbólica.

Função: csc (x)

  - Cossecante.

Função: csch (x)

  - Cossecante Hyperbólica.

Variável de opção: halfangles

  Default value: `false`

  Quando `halfangles` for `true`, meios-ângulos são simplificados imediatamente.

Pacote: ntrig

  O pacote `ntrig` contém um conjunto de regras de simplificação que são usadas para simplificar função trigonométrica cujos argumentos estão na forma `f(n %pi/10)` onde f é qualquer das funções `sin`, `cos`, `tan`, `csc`, `sec` e `cot`.

Função: sec (x)

  - Secante.

Função: sech (x)

  - Secante Hyperbólica.

Função: sin (x)

  - Seno.

Função: sinh (x)

  - Seno Hyperbólico.

Função: tan (x)

  - Tangente.

Função: tanh (x)

  - Tangente Hyperbólica.

Função: trigexpand (expr)

  Expande funções trigonometricas e hyperbólicas de adições de ângulos e de ângulos multiplos que ocorram em expr. Para melhores resultados, expr deve ser expandida. Para intensificar o controle do usuário na simplificação, essa função expande somente um nível de cada vez, expandindo adições de ângulos ou ângulos multiplos. Para obter expansão completa dentro de senos e cossenos imediatamente, escolha o comutador `trigexpand: true`.

  `trigexpand` é governada pelos seguintes sinalizadores globais:

  `trigexpand`

    Se `true` causa expansão de todas as expressões contendo senos e cossenos ocorrendo subseqüêntemente.

  `halfangles`

    Se `true` faz com que meios-ângulos sejam simplificados imediatamente.

  `trigexpandplus`

    Controla a regra "soma" para `trigexpand`, expansão de adições (e.g. `sin(x + y)`) terão lugar somente se `trigexpandplus` for `true`.

  `trigexpandtimes`

    Controla a regra "produto" para `trigexpand`, expansão de produtos (e.g. `sin(2 x)`) terão lugar somente se `trigexpandtimes` for `true`.

  Exemplos:

      (%i1) x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
                               2           2
      (%o1)               - sin (x) + 3 cos (x) + x
      (%i2) trigexpand(sin(10*x+y));
      (%o2)          cos(10 x) sin(y) + sin(10 x) cos(y)

Variável de opção: trigexpandplus

  Valor padrão: `true`

  `trigexpandplus` controla a regra da "soma" para `trigexpand`. Dessa forma, quando o comando `trigexpand` for usado ou o comutador `trigexpand` escolhido para `true`, expansão de adições (e.g. `sin(x+y))` terão lugar somente se `trigexpandplus` for `true`.

Variável de opção: trigexpandtimes

  Valor padrão: `true`

  `trigexpandtimes` controla a regra "produto" para `trigexpand`. Dessa forma, quando o comando `trigexpand` for usado ou o comutador `trigexpand` escolhido para `true`, expansão de produtos (e.g. `sin(2*x)`) terão lugar somente se `trigexpandtimes` for `true`.

Variável de opção: triginverses

  Valor padrão: `all`

  `triginverses` controla a simplificação de composições de funções trigonométricas e hiperbólicas com suas funções inversas.

  Se `all`, ambas e.g. `atan(tan(x))` e `tan(atan(x))` simplificarão para x.

  Se `true`, a simplificação de `arcfun(fun(x))` é desabilitada.

  Se `false`, ambas as simplificações `arcfun(fun(x))` e `fun(arcfun(x))` são desabilitadas.

Função: trigreduce (expr, x)
Função: trigreduce (expr)

  Combina produtos e expoentes de senos e cossenso trigonométricos e hiperbólicos de x dentro daqueles de múltiplos de x. Também tenta eliminar essas funções quando elas ocorrerem em denominadores. Se x for omitido então todas as variáveis em expr são usadas.

  Veja também `poissimp`.

      (%i1) trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
                     cos(2 x)      cos(2 x)   1        1
      (%o1)          -------- + 3 (-------- + -) + x - -
                        2             2       2        2

  As rotinas de simplificação trigonométrica irão usar informações declaradas em alguns casos simples. Declarações sobre variáveis são usadas como segue, e.g.

      (%i1) declare(j, integer, e, even, o, odd)$
      (%i2) sin(x + (e + 1/2)*%pi);
      (%o2)                        cos(x)
      (%i3) sin(x + (o + 1/2)*%pi);
      (%o3)                       - cos(x)

Variável de opção: trigsign

  Valor padrão: `true`

  Quando `trigsign` for `true`, permite simplificação de argumentos negativos para funções trigonométricas. E.g., `sin(-x)` transformar-se-á em `-sin(x)` somente se `trigsign` for `true`.

Função: trigsimp (expr)

  Utiliza as identidades sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 and cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1 para simplificar expressões contendo `tan`, `sec`, etc., para `sin`, `cos`, `sinh`, `cosh`.

  `trigreduce`, `ratsimp`, e `radcan` podem estar habilitadas a adicionar simplificações ao resultado.

  `demo ("trgsmp.dem")` mostra alguns exemplos de `trigsimp`.

Função: trigrat (expr)

  Fornece uma forma quase-linear simplificada canônica de uma expressão trigonométrica; expr é uma fração racional de muitos `sin`, `cos` ou `tan`, os argumentos delas são formas lineares em algumas variáveis (ou kernels-núcleos) e `%pi/n` (n inteiro) com coeficientes inteiros. O resultado é uma fração simplificada com numerador e denominador ambos lineares em `sin` e `cos`. Dessa forma `trigrat` lineariza sempre quando isso for passível.

      (%i1) trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
      (%o1)            sqrt(3) sin(2 a) + cos(2 a) - 1

  O seguinte exemplo encontra-se em Davenport, Siret, and Tournier, Calcul Formel, Masson (ou em inglês, Addison-Wesley), seção 1.5.5, teorema de Morley.

      (%i1) c: %pi/3 - a - b;
                                          %pi
      (%o1)                     - b - a + ---
                                           3
      (%i2) bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
                            sin(a) sin(3 b + 3 a)
      (%o2)                 ---------------------
                                 sin(b + a)
      (%i3) ba: bc, c=a, a=c$
      (%i4) ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
               2       2
            sin (a) sin (3 b + 3 a)
      (%o4) -----------------------
                     2
                  sin (b + a)

                                              %pi
         2 sin(a) sin(3 a) cos(b) sin(b + a - ---) sin(3 b + 3 a)
                                               3
       - --------------------------------------------------------
                                 %pi
                         sin(a - ---) sin(b + a)
                                  3

            2         2         %pi
         sin (3 a) sin (b + a - ---)
                                 3
       + ---------------------------
                   2     %pi
                sin (a - ---)
                          3
      (%i5) trigrat (ac2);
      (%o5) - (sqrt(3) sin(4 b + 4 a) - cos(4 b + 4 a)

       - 2 sqrt(3) sin(4 b + 2 a) + 2 cos(4 b + 2 a)

       - 2 sqrt(3) sin(2 b + 4 a) + 2 cos(2 b + 4 a)

       + 4 sqrt(3) sin(2 b + 2 a) - 8 cos(2 b + 2 a) - 4 cos(2 b - 2 a)

       + sqrt(3) sin(4 b) - cos(4 b) - 2 sqrt(3) sin(2 b) + 10 cos(2 b)

       + sqrt(3) sin(4 a) - cos(4 a) - 2 sqrt(3) sin(2 a) + 10 cos(2 a)

       - 9)/4

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