Manual do Maxima: 20. Integração

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# 20. Integração

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## 20.1 Introdução a Integração

Maxima tem muitas rotinas para manusear integração. A função `integrate` faz uso de muitas dessas. Exite também o pacote `antid`, que manuseia uma função não especificada (e suas derivadas, certamente). Para usos numericos, existe um conjunto de integradores adaptativos de QUADPACK, a saber `quad_qag`, `quad_qags`, etc., os quais são descritos sob o tópico `QUADPACK`. Funções hipergeométricas estão sendo trabalhadas, veja `specint` para detalhes. Geralmente falando, Maxima somente manuseia integrais que são integráveis em termos de "funções elementares" (funções racionais, trigonometricas, logarítmicas, exponenciais, radicais, etc.) e umas poucas extensões (função de erro, dilogarithm). Isso não manuseia integrais em termos de funções desconhecidas tais como `g(x)` e `h(x)`.

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## 20.2 Funções e Variáveis Definidas para Integração

Função: changevar (expr, f(x,y), y, x)

  Faz a mudança de variável dada por `f(x,y) = 0` em todas as integrais que ocorrem em expr com integração em relação a x. A nova variável é y.

      (%i1) assume(a > 0)$
      (%i2) 'integrate (%e**sqrt(a*y), y, 0, 4);
                            4
                           /
                           [    sqrt(a) sqrt(y)
      (%o2)                I  %e                dy
                           ]
                           /
                            0
      (%i3) changevar (%, y-z^2/a, z, y);
                            0
                           /
                           [                abs(z)
                         2 I            z %e       dz
                           ]
                           /
                            - 2 sqrt(a)
      (%o3)            - ----------------------------
                                      a

  Uma expressão contendo uma forma substantiva, tais como as instâncias de `'integrate` acima, pode ser avaliada por `ev` com o sinalizador `nouns`. Por exemplo, a expressão retornada por `changevar` acima pode ser avaliada por `ev (%o3, nouns)`.

  `changevar` pode também ser usada para alterações nos índices de uma soma ou de um produto. Todavia, isso deve obrigatóriamente ser realizado de forma que quando uma alteração é feita em uma soma ou produto, essa mudança deve ser um artifício, i.e., `i = j+ ...`, não uma função de grau mais alto. E.g.,

      (%i4) sum (a[i]*x^(i-2), i, 0, inf);
                               inf
                               ====
                               \         i - 2
      (%o4)                     >    a  x
                               /      i
                               ====
                               i = 0
      (%i5) changevar (%, i-2-n, n, i);
                              inf
                              ====
                              \               n
      (%o5)                    >      a      x
                              /        n + 2
                              ====
                              n = - 2

Função: dblint (f, r, s, a, b)

  Uma rotina de integral dupla que foi escrita no alto-nível do Maxima e então traduzida e compilada para linguagem de máquina. Use `load (dblint)` para acessar esse pacote. Isso usa o método da regra de Simpson em ambas as direções x e y para calcular

      /b /s(x)
      |  |
      |  |    f(x,y) dy dx
      |  |
      /a /r(x)

  A função f deve ser uma função traduzida ou compilada de duas variáveis, e r e s devem cada uma ser uma função traduzida ou compilada de uma variável, enquanto a e b devem ser números em ponto flutuante. A rotina tem duas variáveis globais que determinam o número de divisões dos intervalos x e y: `dblint_x` e `dblint_y`, ambas as quais são inicialmente 10, e podem ser alteradas independentemente para outros valores inteiros (existem `2*dblint_x+1` pontos calculados na direção x , e `2*dblint_y+1` na direção y). A rotina subdivide o eixo X e então para cada valor de X isso primeiro calcula `r(x)` e `s(x)`; então o eixo Y entre `r(x)` e `s(x)` é subdividido e a integral ao longo do eixo Y é executada usando a regra de Simpson; então a integral ao longo do eixo X é concluída usando a regra de Simpson com os valores da função sendo as integrais-Y. Esse procedimento pode ser numericamente instável por uma grande variedade razões, mas razoávelmente rápido: evite usar isso sobre funções altamente oscilatórias e funções com singularidades (postes ou pontos de ramificação na região). As integrais Y dependem de quanto fragmentados `r(x)` e `s(x)` são, então se a ditância `s(x) - r(x)` varia rapidamente com X, nesse ponto pode ter erros substanciais provenientes de truncação com diferentes saltos-tamanhos nas várias integrais Y. Um pode incrementar `dblint_x` e `dblint_y` em uma tentativa para melhorar a convergência da reião, com sacrifício do tempo de computação. Os valores da função não são salvos, então se a função é muito desperdiçadora de tempo,você terá de esperar por re-computação se você mudar qualquer coisa (desculpe). Isso é requerido que as funções f, r, e s sejam ainda traduzidas ou compiladas previamente chamando `dblint`. Isso resultará em ordens de magnitude de melhoramentos de velocidade sobre o código interpretado em muitos casos!

  `demo (dblint)` executa uma demonstração de `dblint` aplicado a um problema exemplo.

Função: defint (expr, x, a, b)

  Tenta calcular uma integral definida. `defint` é chamada por `integrate` quando limites de integração são especificados, i.e., quando `integrate` é chamado como `integrate (expr, x, a, b)`. Dessa forma do ponto de vista do usuário, isso é suficiente para chamar `integrate`.

  `defint` retorna uma expressão simbólica, e executa um dos dois: ou calcula a integral ou a forma substantiva da integral. Veja `quad_qag` e funções rellacionadas para aproximação numérica de integrais definidas.

Função: erf (x)

  Representa a função de erro, cuja derivada é: `2*exp(-x^2)/sqrt(%pi)`.

Variável de opção: erfflag

  Valor padrão: `true`

  Quando `erfflag` é `false`, previne `risch` da introdução da função `erf` na resposta se não houver nenhum no integrando para começar.

Função: ilt (expr, t, s)

  Calcula a transformação inversa de Laplace de expr em relação a t e parâmetro s. expr deve ser uma razão de polinômios cujo denominador tem somente fatores lineares e quadráticos. Usando a funções `laplace` e `ilt` juntas com as funções `solve` ou `linsolve` o usuário pode resolver uma diferencial simples ou uma equação integral de convolução ou um conjunto delas.

      (%i1) 'integrate (sinh(a*x)*f(t-x), x, 0, t) + b*f(t) = t**2;
                    t
                   /
                   [                                    2
      (%o1)        I  f(t - x) sinh(a x) dx + b f(t) = t
                   ]
                   /
                    0
      (%i2) laplace (%, t, s);
                                     a laplace(f(t), t, s)   2
      (%o2)  b laplace(f(t), t, s) + --------------------- = --
                                             2    2           3
                                            s  - a           s
      (%i3) linsolve ([%], ['laplace(f(t), t, s)]);
                                              2      2
                                           2 s  - 2 a
      (%o3)     [laplace(f(t), t, s) = --------------------]
                                          5         2     3
                                       b s  + (a - a  b) s
      (%i4) ilt (rhs (first (%)), s, t);
      Is  a b (a b - 1)  positive, negative, or zero?

      pos;
                     sqrt(a b (a b - 1)) t
              2 cosh(---------------------)       2
                               b               a t
      (%o4) - ----------------------------- + -------
                    3  2      2               a b - 1
                   a  b  - 2 a  b + a

                                                             2
                                                   + ------------------
                                                      3  2      2
                                                     a  b  - 2 a  b + a

Função: integrate (expr, x)
Função: integrate (expr, x, a, b)

  Tenta símbolicamente calcular a integral de expr em relação a x. `integrate (expr, x)` é uma integral indefinida, enquanto `integrate (expr, x, a, b)` é uma integral definida, com limites de integração a e b. Os limites não poderam conter x, embora `integrate` não imponha essa restrição. a não precisa ser menor que b. Se b é igual a a, `integrate` retorna zero.

  Veja `quad_qag` e funções relacionadas para aproximação numérica de integrais definidas. Veja `residue` para computação de resíduos (integração complexa). Veja `antid` para uma forma alternativa de calcular integrais indefinidas.

  A integral (uma expressão livre de `integrate`) é retornada se `integrate` obtém sucesso. De outra forma o valor de retorno é a forma substantiva da integral (o operador com apóstrofo `'integrate`) ou uma expressão contendo uma ou mais formas substantivas. A forma substantiva de `integrate` é mostrada com um sinal de integral.

  Em algumas circunstâncias isso é útil para construir uma forma substantiva manualmente, colocando em `integrate` um apóstrofo, e.g., `'integrate (expr, x)`. Por exemplo, a integral pode depender de alguns parâmetos que não estão ainda calculados. A forma substantiva pode ser aplicada a seus argumentos por `ev (i, nouns)` onde i é a forma substantiva de interesse.

  `integrate` manuseia integrais definidas separadamente das indefinidas, e utiliza uma gama de heurísticas para manusear cada caso. Casos especiais de integrais definidas incluem limites de integração iguais a zero ou infinito (`inf` ou `minf`), funções trigonométricas com limites de integração iguais a zero e `%pi` ou `2 %pi`, funções racionais, integrais relacionadas para as definições de funções `beta` e `psi`, e algumas integrais logarítmicas e trigonométricas. Processando funções racionais pode incluir computação de resíduo. Se um caso especial aplicável não é encontrado, tentativa será feita para calcular a integra indefinida e avaliar isso nos limites de integração. Isso pode incluir pegar um limite como um limite de integração tendendo ao infinito ou a menos infinito; veja também `ldefint`.

  Casos especiais de integrais indefinidas incluem funções trigonométricas, exponenciais e funções logarítmicas, e funções racionais. `integrate` pode também fazer uso de uma curta tabela de integais elementares.

  `integrate` pode realizar uma mudança de variável se o integrando tem a forma `f(g(x)) * diff(g(x), x)`. `integrate` tenta achar uma subexpressão `g(x)` de forma que a derivada de `g(x)` divida o integrando. Essa busca pode fazer uso de derivadas definidas pela função `gradef`. Veja também `changevar` e `antid`.

  Se nenhum dos procedimentos heurísticos acha uma integral indefinida, o algorítmo de Risch é executado. O sinalizador `risch` pode ser escolhido como um `evflag`, na chamada para `ev` ou na linha de comando, e.g., `ev (integrate (expr, x), risch)` ou `integrate (expr, x), risch`. Se `risch` está presente, `integrate` chama a função `risch` sem tentar heurísticas primeiro. Veja também `risch`.

  `integrate` trabalha somente com relações funcionais representadas explicitamente com a notação `f(x)`. `integrate` não respeita dependências implicitas estabelecidas pela função `depends`. `integrate` pode necessitar conhecer alguma propriedade de um parâmetro no integrando. `integrate` irá primeiro consultar a base de dados do `assume`, e , se a variável de interesse não está lá, `integrate` perguntará ao usuário. Dependendo da pergunta, respostas adequadas são `yes;` ou `no;`, ou `pos;`, `zero;`, ou `neg;`.

  `integrate` não é, por padrão, declarada ser linear. Veja `declare` e `linear`.

  `integrate` tenta integração por partes somente em uns poucos casos especiais.

  Exemplos:

  - Integrais definidas e indefinidas elementares.

        (%i1) integrate (sin(x)^3, x);
                                   3
                                cos (x)
        (%o1)                   ------- - cos(x)
                                   3
        (%i2) integrate (x/ sqrt (b^2 - x^2), x);
                                         2    2
        (%o2)                    - sqrt(b  - x )
        (%i3) integrate (cos(x)^2 * exp(x), x, 0, %pi);
                                       %pi
                                   3 %e      3
        (%o3)                      ------- - -
                                      5      5
        (%i4) integrate (x^2 * exp(-x^2), x, minf, inf);
                                    sqrt(%pi)
        (%o4)                       ---------
                                        2

  - Uso de `assume` e dúvida interativa.

        (%i1) assume (a > 1)$
        (%i2) integrate (x**a/(x+1)**(5/2), x, 0, inf);
            2 a + 2
        Is  -------  an integer?
               5

        no;
        Is  2 a - 3  positive, negative, or zero?

        neg;
                                           3
        (%o2)                  beta(a + 1, - - a)
                                           2

  - Mudança de variável. Existem duas mudanças de variável nesse exemplo: uma usando a derivada estabelecida por `gradef`, e uma usando a derivação `diff(r(x))` de uma função não especificada `r(x)`.

        (%i3) gradef (q(x), sin(x**2));
        (%o3)                         q(x)
        (%i4) diff (log (q (r (x))), x);
                              d               2
                             (-- (r(x))) sin(r (x))
                              dx
        (%o4)                ----------------------
                                    q(r(x))
        (%i5) integrate (%, x);
        (%o5)                     log(q(r(x)))

  - O valor de retorno contém a forma substantiva `'integrate`. Nesse exemplo, Maxima pode extrair um fator do denominador de uma função racional, mas não pode fatorar o restante ou de outra forma achar sua integral. `grind` mostra a forma substantiva `'integrate` no resultado. Veja também `integrate_use_rootsof` para mais sobre integrais de funções racionais.

        (%i1) expand ((x-4) * (x^3+2*x+1));
                            4      3      2
        (%o1)              x  - 4 x  + 2 x  - 7 x - 4
        (%i2) integrate (1/%, x);
                                      /  2
                                      [ x  + 4 x + 18
                                      I ------------- dx
                                      ]  3
                         log(x - 4)   / x  + 2 x + 1
        (%o2)            ---------- - ------------------
                             73               73
        (%i3) grind (%);
        log(x-4)/73-('integrate((x^2+4*x+18)/(x^3+2*x+1),x))/73$

  - Definindo uma função em termos de uma integral. O corpo de uma função não é avaliado quando a função é definida. Dessa forma o corpo de `f_1` nesse exemplo contém a forma substantiva de `integrate`. O operador apóstrofo-apóstrofo `''` faz com que a integral seja avaliada, e o resultado transforme-se no corpo de `f_2`.

        (%i1) f_1 (a) := integrate (x^3, x, 1, a);
                                             3
        (%o1)           f_1(a) := integrate(x , x, 1, a)
        (%i2) ev (f_1 (7), nouns);
        (%o2)                          600
        (%i3) /* Note parentheses around integrate(...) here */
              f_2 (a) := ''(integrate (x^3, x, 1, a));
                                           4
                                          a    1
        (%o3)                   f_2(a) := -- - -
                                          4    4
        (%i4) f_2 (7);
        (%o4)                          600

Variável de sistema: integration_constant_counter

  Valor padrão: 0

  `integração_constant_counter` é um contador que é atualizado a cada vez que uma constante de integração (nomeada pelo Maxima, e.g., `integrationconstant1`) é introduzida em uma expressão pela integração indefinida de uma equação.

Variável de opção: integrate_use_rootsof

  Valor padrão: `false`

  Quando `integrate_use_rootsof` é `true` e o denominador de uma função racional não pode ser fatorado, `integrate` retorna a integral em uma forma que é uma soma sobre as raízes (não conhecidas ainda) do denominador.

  Por exemplo, com `integrate_use_rootsof` escolhido para `false`, `integrate` retorna uma integral não resolvida de uma função racional na forma substantiva:

      (%i1) integrate_use_rootsof: false$
      (%i2) integrate (1/(1+x+x^5), x);
              /  2
              [ x  - 4 x + 5
              I ------------ dx                            2 x + 1
              ]  3    2                2            5 atan(-------)
              / x  - x  + 1       log(x  + x + 1)          sqrt(3)
      (%o2)   ----------------- - --------------- + ---------------
                      7                 14             7 sqrt(3)

  Agora vamos escolher o sinalizador para ser true e a parte não resolvida da integral será expressa como um somatório sobre as raízes do denominador da função racional:

      (%i3) integrate_use_rootsof: true$
      (%i4) integrate (1/(1+x+x^5), x);
            ====        2
            \       (%r4  - 4 %r4 + 5) log(x - %r4)
             >      -------------------------------
            /                    2
            ====            3 %r4  - 2 %r4
                            3    2
            %r4 in rootsof(x  - x  + 1)
      (%o4) ----------------------------------------------------------
                     7

                                                                   2 x + 1
                                               2            5 atan(-------)
                                          log(x  + x + 1)          sqrt(3)
                                        - --------------- + ---------------
                                                14             7 sqrt(3)

  Alternativamente o usuário pode calcular as raízes do denominador separadamente, e então expressar o integrando em termos dessas raízes, e.g., `1/((x - a)*(x - b)*(x - c))` ou `1/((x^2 - (a+b)*x + a*b)*(x - c))` se o denominador for um polinômio cúbico. Algumas vezes isso ajudará Maxima a obter resultados mais úteis.

Função: ldefint (expr, x, a, b)

  Tenta calcular a integral definida de expr pelo uso de `limit` para avaliar a integral indefinida expr em relação a x no limite superior b e no limite inferior a. Se isso falha para calcular a integral definida, `ldefint` retorna uma expressão contendo limites como formas substantivas.

  `ldefint` não é chamada por `integrate`, então executando `ldefint (expr, x, a, b)` pode retornar um resultado diferente de `integrate (expr, x, a, b)`. `ldefint` sempre usa o mesmo método para avaliar a integral definida, enquanto `integrate` pode utilizar várias heurísticas e pode reconhecer alguns casos especiais.

Função: potential (givengradient)

  O cálculo faz uso da variável global `potentialzeroloc[0]` que deve ser `nonlist` ou da forma

      [indeterminatej=expressãoj, indeterminatek=expressãok, ...]

  O formador sendo equivalente para a expressão nonlist para todos os lados direitos-manuseados mais tarde. Os lados direitos indicados são usados como o limite inferior de integração. O sucesso das integrações pode depender de seus valores e de sua ordem. `potentialzeroloc` é inicialmente escolhido para 0.

Função: residue (expr, z, z_0)

  Calcula o resíduo no plano complexo da expressão expr quando a variável z assumes o valor z_0. O resíduo é o coeficiente de `(z - z_0)^(-1)` nas séries de Laurent para expr.

      (%i1) residue (s/(s**2+a**2), s, a*%i);
                                      1
      (%o1)                           -
                                      2
      (%i2) residue (sin(a*x)/x**4, x, 0);
                                       3
                                      a
      (%o2)                         - --
                                      6

Função: risch (expr, x)

  Integra expr em relação a x usando um caso transcendental do algorítmo de Risch. (O caso algébrico do algorítmo de Risch foi implementado.) Isso atualmente manuseia os casos de exponenciais aninhadas e logarítmos que a parte principal de `integrate` não pode fazer. `integrate` irá aplicar automaticamente `risch` se dados esses casos.

  `erfflag`, se `false`, previne `risch` da introdução da função `erf` na resposta se não for achado nenhum no integrando para começar.

      (%i1) risch (x^2*erf(x), x);
                                                              2
                   3                      2                - x
              %pi x  erf(x) + (sqrt(%pi) x  + sqrt(%pi)) %e
      (%o1)   -------------------------------------------------
                                    3 %pi
      (%i2) diff(%, x), ratsimp;
                                   2
      (%o2)                       x  erf(x)

Função: tldefint (expr, x, a, b)

  Equivalente a `ldefint` com `tlimswitch` escolhido para `true`.

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## 20.3 Introdução a QUADPACK

QUADPACK é uma coleção de funções para aálculo numérico de integrais definidas unidimensionais. O pacote QUADPACK resultou da junção de um projeto de R. Piessens (1), E. de Doncker (2), C. Ueberhuber (3), e D. Kahaner (4).

A biblioteca QUADPACK inclída no Maxima é uma tradução automática (feita através do programa `f2cl`) do código fonte em de QUADPACK como aparece na SLATEC Common Mathematical Library, Versão 4.1 (5). A biblioteca Fortran SLATEC é datada de Julho de 1993, mas as funções QUADPACK foram escritas alguns anos antes. Existe outra versão de QUADPACK em Netlib (6); não está claro no que aquela versão difere da versão existente em SLATEC.

As funções QUADPACK incluídas no Maxima são toda automáticas, no sentido de que essas funções tentam calcular um resultado para uma precisão específica, requerendo um número não especificado de avaliações de função. A tradução do Lisp do Maxima da iblioteca QUADPACK também inclui algumas funçe~s não automáticas, mas elas não são expostas a nível de Maxima.

Informação adicionalsobre a bilioteca QUADPACK pode ser encontrada no livro do QUADPACK (7).

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### 20.3.1 Overview

`quad_qag`

  Integração de uma função genérica sobre um intervalo finito. `quad_qag` implementa um integrador adaptativo globalmente simples usando a estratégia de Aind (Piessens, 1973). O chamador pode escolher entre 6 pares de formulas da quadratura de Gauss-Kronrod para a componente de avaliação da regra. As regras de alto grau são adequadas para integrandos fortemente oscilantes.

`quad_qags`

  Integração de uma função genérica sob um intervalo finito. `quad_qags` implementa subdivisão de intervalos globalmente adaptativos com extrapolação (de Doncker, 1978) por meio do algorítmo de Epsilon (Wynn, 1956).

`quad_qagi`

  Integração de uma função genérica sobre um intervalo finito ou semi-finito. O intervalo é mapeado sobre um intervalo finito e então a mesma estratégia de `quad_qags` é aplicada.

`quad_qawo`

  Integração de cos(omega x) f(x) ou sin(omega x) f(x) sobre um intervalo finito, onde omega é uma constante. A componente de avaliação da regra é baseada na técnica modificada de Clenshaw-Curtis. `quad_qawo` aplica subdivisão adaptativa com extrapolação, similar a `quad_qags`.

`quad_qawf`

  Calcula uma transformação de cosseno de Fourier ou de um seno de Fourier sobre um intervalo semi-finito. O mesmo aproxima como `quad_qawo` aplicado sobre intervalos finitos sucessivos, e aceleração de convergência por meio d algorítimo de Epsilon (Wynn, 1956) aplicado a séries de contribuições de integrais.

`quad_qaws`

  Integraçào de w(x) f(x) sobre um intervalo finito [a, b], onde w é uma função da forma (x - a)^alpha (b - x)^beta v(x) e v(x) é 1 ou log(x - a) ou log(b - x) ou log(x - a) log(b - x), e alpha > -1 e beta > -1. Auma estratégia de subdivisão adaptativa é aplicada, com integração modificada de Clenshaw-Curtis sobre os subintervalos que possuem a ou b.

`quad_qawc`

  Calcula o valor principal de Cauchy de f(x)/(x - c) sobre um intervalo finito (a, b) e um c especificado. A estratégia é globalmente adaptativa, e a integração modificada de Clenshaw-Curtis é usada sobre subamplitudes que possuírem o ponto x = c.

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## 20.4 Funções e Variáveis Definidas para QUADPACK

Função: quad_qag (f(x), x, a, b, chave, epsrel, limite)
Função: quad_qag (f, x, a, b, chave, epsrel, limite)

  Integração de uma função genérica sobre um intervalo finito. `quad_qag` implementa um integrador adaptativo globalmente simples usando a estratégia de Aind (Piessens, 1973). O chamador pode escolher entre 6 pares de fórmulas da quadratura de Gauss-Kronrod para a componente de avaliação da regra. As regras de alto nível são adequadas para integrandos fortemente oscilatórios.

  `quad_qag` calcula a integral

  integrate (f(x), x, a, b)

  A função a ser integrada é f(x), com variável dependente x, e a função é para ser integrada entre os limites a e b. chave é o integrador a ser usado e pode ser um inteiro entre 1 e 6, inclusive. O valor de chave seleciona a ordem da regra de integração de Gauss-Kronrod. Regra de alta ordem são adequadas para integrandos fortemente oscilatórios.

  O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

  A integração numérica é concluída adaptativamente pela subdivisão a região de integração até que a precisão desejada for completada.

  Os argumentos opcionais epsrel e limite são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos respectivamente. epsrel padrão em 1e-8 e limite é 200.

  `quad_qag` retorna uma lista de quatro elementos:

  O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

  `0`

    se nenhum problema for encontrado;

  `1`

    se muitos subintervalos foram concluídos;

  `2`

    se erro excessivo é detectado;

  `3`

    se ocorre comportamento extremamente ruim do integrando;

  `6`

    se a entrada é inválida.

  Exemplos:

      (%i1) quad_qag (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 3);
      (%o1)    [.4444444444492108, 3.1700968502883E-9, 961, 0]
      (%i2) integrate (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1);
                                      4
      (%o2)                           -
                                      9

Função: quad_qags (f(x), x, a, b, epsrel, limite)
Função: quad_qags (f, x, a, b, epsrel, limite)

  Integração de uma função geral sobre um intervalo finito. `quad_qags` implementa subdivisão de intervalo globalmente adaptativa com extrapolação (de Doncker, 1978) através do algorítmo de (Wynn, 1956).

  `quad_qags` computes the integral

  integrate (f(x), x, a, b)

  A função a ser integrada é f(x), com variável dependente x, e a função é para ser integrada entre os limites a e b.

  O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

  Os argumentos opcionais epsrel e limite são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. epsrel padrão em 1e-8 e limite é 200.

  `quad_qags` retorna uma lista de quatro elementos:

  O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

  `0`

    nenhum problema foi encontrado;

  `1`

    muitos subintervalos foram concluídos;

  `2`

    erro excessivo é detectado;

  `3`

    ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;

  `4`

    falhou para convergência

  `5`

    integral é provavelmente divergente ou lentamente convergente

  `6`

    se a entrada é inválida.

  Exemplos:

      (%i1) quad_qags (x^(1/2)*log(1/x), x, 0 ,1);
      (%o1)   [.4444444444444448, 1.11022302462516E-15, 315, 0]

  Note que `quad_qags` é mais preciso e eficiente que `quad_qag` para esse integrando.

Função: quad_qagi (f(x), x, a, inftype, epsrel, limite)
Função: quad_qagi (f, x, a, inftype, epsrel, limite)

  Integração de uma função genérica sobre um intervalo finito ou semi-finito. O intervalo é mapeado sobre um intervalo finito e então a mesma estratégia que em `quad_qags` é aplicada.

  `quad_qagi` avalia uma das seguintes integrais

  integrate (f(x), x, minf, inf)

  integrate (f(x), x, minf, a)

  integrate (f(x), x, a, minf, inf)

  usando a rotina Quadpack QAGI. A função a ser integrada é f(x), com variável dependente x, e a função é para ser integrada sobre um intervalo infinito.

  O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

  O parâmetro inftype determina o intervalo de integração como segue:

  `inf`

    O intervalo vai de a ao infinito positivo.

  `minf`

    O intervalo vai do infinito negativo até a.

  `both`

    O intervalo corresponde a toda reta real.

  Os argumentos opcionais epsrel e limite são o erro relativo desejado e o número maximo de subintervalos, respectivamente. epsrel padrão para 1e-8 e limite é 200.

  `quad_qagi` retorna uma lista de quatro elementos:

  O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

  `0`

    nenhum problema foi encontrado;

  `1`

    muitos subintervalos foram concluídos;

  `2`

    erro excessivo é detectado;

  `3`

    ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;

  `4`

    falhou para convergência;

  `5`

    integral é provavelmente divergente ou lentamente convergente;

  `6`

    se a entrada for inválida.

  Exemplos:

      (%i1) quad_qagi (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf);
      (%o1)        [0.03125, 2.95916102995002E-11, 105, 0]
      (%i2) integrate (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf);
                                     1
      (%o2)                          --
                                     32

Função: quad_qawc (f(x), x, c, a, b, epsrel, limite)
Função: quad_qawc (f, x, c, a, b, epsrel, limite)

  Calcula o valor principal de Cauchy de f(x)/(x - c) over a finite interval. A estratégia é globalmente adaptativa, e a integração de Clenshaw-Curtis modificada é usada sobre as subamplitudes que possuírem o ponto x = c.

  `quad_qawc` calcula o valor principal de Cauchy de

  integrate (f(x)/(x - c), x, a, b)

  usando a rotina Quadpack QAWC. A função a ser integrada é `f(x)/(x - c)`, com variável dependente x, e a função é para ser integrada sobre o intervalo que vai de a até b.

  O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

  Os argumentos opcionais epsrel e limite são o erro relativo desejado e o máximo número de subintervalos, respectivamente. epsrel padrão para 1e-8 e limite é 200.

  `quad_qawc` retorna uma lista de quatro elementos:

  O código de erro (quarto elemento do valoor de retorno) pode ter os valores:

  `0`

    nenhum problema foi encontrado;

  `1`

    muitos subintervalos foram concluídos;

  `2`

    erro excessivo é detectado;

  `3`

    ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;

  `6`

    se a entrada é inválida.

  Exemplos:

      (%i1) quad_qawc (2^(-5)*((x-1)^2+4^(-5))^(-1), x, 2, 0, 5);
      (%o1)    [- 3.130120337415925, 1.306830140249558E-8, 495, 0]
      (%i2) integrate (2^(-alpha)*(((x-1)^2 + 4^(-alpha))*(x-2))^(-1), x, 0, 5);
      Principal Value
                             alpha
              alpha       9 4                 9
             4      log(------------- + -------------)
                            alpha           alpha
                        64 4      + 4   64 4      + 4
      (%o2) (-----------------------------------------
                              alpha
                           2 4      + 2

               3 alpha                       3 alpha
               -------                       -------
                  2            alpha/2          2          alpha/2
            2 4        atan(4 4       )   2 4        atan(4       )   alpha
          - --------------------------- - -------------------------)/2
                      alpha                        alpha
                   2 4      + 2                 2 4      + 2
      (%i3) ev (%, alpha=5, numer);
      (%o3)                    - 3.130120337415917

Função: quad_qawf (f(x), x, a, omega, trig, epsabs, limit, maxp1, limlst)
Função: quad_qawf (f, x, a, omega, trig, epsabs, limit, maxp1, limlst)

  Calcula uma transformação de cosseno de Fourier ou de um seno de Fourier sobre um intervalo semi-finito. usando a função QAWF do pacote Quadpack. A mesma aproxima como em `quad_qawo` quando aplicada sobre intervalos finitos sucessivos, e aceleração de convergência por meio d algorítimo de Epsilon (Wynn, 1956) aplicado a séries de contribuições de integrais.

  `quad_qawf` calcula a integral

  integrate (f(x)*w(x), x, a, inf)

  A função peso w é selecionada por trig:

  `cos`

    w(x) = cos (omega x)

  `sin`

    w(x) = sin (omega x)

  O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

  Os argumentos opcionais são:

  `epsabs`

    Erro absoluto de aproximação desejado. Padrão é 1d-10.

  `limit`

    Tamanho de array interno de trabalho. (limit - limlst)/2 é o maximo número de subintervalos para usar. O Padrão é 200.

  `maxp1`

    O número máximo dos momentos de Chebyshev. Deve ser maior que 0. O padrão é 100.

  `limlst`

    Limite superior sobre número de ciclos. Deve ser maior ou igual a 3. O padrão é 10.

  epsabs e limit são o erro relativo desejado e o número maximo de subintervalos, respectivamente. epsrel padrão para 1e-8 e limit é 200.

  `quad_qawf` retorna uma lista de quatro elementos:

  O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

  `0`

    nenhum problema foi encontrado;

  `1`

    muitos subintervalos foram concluídos;

  `2`

    erro excessivo é detectado;

  `3`

    ocorreu um comportamento excessivamente ruim do integrando;

  `6`

    se a entrada é invalida.

  Exemplos:

      (%i1) quad_qawf (exp(-x^2), x, 0, 1, 'cos);
      (%o1)   [.6901942235215714, 2.84846300257552E-11, 215, 0]
      (%i2) integrate (exp(-x^2)*cos(x), x, 0, inf);
                                - 1/4
                              %e      sqrt(%pi)
      (%o2)                   -----------------
                                      2
      (%i3) ev (%, numer);
      (%o3)                   .6901942235215714

Função: quad_qawo (f(x), x, a, b, omega, trig, epsabs, limite, maxp1, limlst)
Função: quad_qawo (f, x, a, b, omega, trig, epsabs, limite, maxp1, limlst)

  Integração de cos(omega x) f(x) ou sin(omega x) f(x) sobre um intervalo finito, onde omega é uma constante. A componente de avaliação da regra é baseada na técnica modificada de Clenshaw-Curtis. `quad_qawo` aplica subdivisão adaptativa com extrapolação, similar a `quad_qags`.

  `quad_qawo` calcula a integral usando a rotina Quadpack QAWO:

  integrate (f(x)*w(x), x, a, b)

  A função peso w é selecionada por trig:

  `cos`

    w(x) = cos (omega x)

  `sin`

    w(x) = sin (omega x)

  O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

  Os argumentos opcionais são:

  `epsabs`

    Erro absoluto desejado de aproximação. O Padrão é 1d-10.

  `limite`

    Tamanho do array interno de trabalho. (limite - limlst)/2 é o número máximo de subintervalos a serem usados. Default é 200.

  `maxp1`

    Número máximo dos momentos de Chebyshev. Deve ser maior que 0. O padrão é 100.

  `limlst`

    Limite superior sobre o número de ciclos. Deve ser maior que ou igual a 3. O padrão é 10.

  epsabs e limite são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. epsrel o padrão é 1e-8 e limite é 200.

  `quad_qawo` retorna uma lista de quatro elementos:

  O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

  `0`

    nenhum problema foi encontrado;

  `1`

    muitos subintervalos foram concluídos;

  `2`

    erro excessivo é detectado;

  `3`

    comportamento extremamente ruim do integrando;

  `6`

    se a entrada é inválida.

  Exemplos:

      (%i1) quad_qawo (x^(-1/2)*exp(-2^(-2)*x), x, 1d-8, 20*2^2, 1, cos);
      (%o1)     [1.376043389877692, 4.72710759424899E-11, 765, 0]
      (%i2) rectform (integrate (x^(-1/2)*exp(-2^(-alpha)*x) * cos(x), x, 0, inf));
                         alpha/2 - 1/2            2 alpha
              sqrt(%pi) 2              sqrt(sqrt(2        + 1) + 1)
      (%o2)   -----------------------------------------------------
                                     2 alpha
                               sqrt(2        + 1)
      (%i3) ev (%, alpha=2, numer);
      (%o3)                     1.376043390090716

Função: quad_qaws (f(x), x, a, b, alpha, beta, wfun, epsabs, limite)
Função: quad_qaws (f, x, a, b, alpha, beta, wfun, epsabs, limite)

  Integração de w(x) f(x) sobre um intervalo finito, onde w(x) é uma certa função algébrica ou logarítmica. Uma estratégia de subdivisão globalmente adaptativa é aplicada, com integração modificada de Clenshaw-Curtis sobre os subintervalos que possuírem os pontos finais dos intervalos de integração.

  `quad_qaws` calcula a integral usando a rotina Quadpack QAWS:

  integrate (f(x)*w(x), x, a, b)

  A função peso w é selecionada por wfun:

  `1`

    w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta

  `2`

    w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a)

  `3`

    w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(b - x)

  `4`

    w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a) log(b - x)

  O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

  O argumentos opcionais são:

  `epsabs`

    Erro absoluto desejado de aproximação. O padrão é 1d-10.

  `limite`

    Tamanho do array interno de trabalho. (limite - limlst)/2 é o número máximo de subintervalos para usar. O padrão é 200.

  epsabs e limit são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. epsrel o padrão é 1e-8 e limite é 200.

  `quad_qaws` retorna uma lista de quatro elementos:

  O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

  `0`

    nenhum problema foi encontrado;

  `1`

    muitos subintervalos foram concluídos;

  `2`

    erro excessivo é detectado;

  `3`

    ocorreu um comportamento excessivamente ruim do integrando;

  `6`

    se a entrada é invalida.

  Exemplos:

      (%i1) quad_qaws (1/(x+1+2^(-4)), x, -1, 1, -0.5, -0.5, 1);
      (%o1)     [8.750097361672832, 1.24321522715422E-10, 170, 0]
      (%i2) integrate ((1-x*x)^(-1/2)/(x+1+2^(-alpha)), x, -1, 1);
             alpha
      Is  4 2      - 1  positive, negative, or zero?

      pos;
                                alpha         alpha
                         2 %pi 2      sqrt(2 2      + 1)
      (%o2)              -------------------------------
                                     alpha
                                  4 2      + 2
      (%i3) ev (%, alpha=4, numer);
      (%o3)                     8.750097361672829

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