Funciones y variables para polinomios ortogonales (Manual de Maxima 5.45.0)

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### 69.2 Funciones y variables para polinomios ortogonales

Función: assoc_legendre_p (n, m, x)

  Función asociada de Legendre de primera especie de grado n y orden m.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 22.5.37, página 779, 8.6.6 (segunda ecuación), página 334 y 8.2.5, página 333.

Función: assoc_legendre_q (n, m, x)

  Función asociada de Legendre de segunda especie de grado n y orden m.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 8.5.3 y 8.1.8.

Función: chebyshev_t (n, x)

  Función de Chebyshev de primera especie.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.47, página 779.

Función: chebyshev_u (n, x)

  Función de Chebyshev de segunda especie.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.48, página 779.

Función: gen_laguerre (n, a, x)

  Polinomio de Laguerre generalizado de grado n.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.54, página 780.

Función: hermite (n, x)

  Polinomio de Hermite.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.55, página 780.

Función: intervalp (e)

  Devuelve `true` si la entrada es un intervalo y `false` en caso contrario.

Función: jacobi_p (n, a, b, x)

  Polinomio de Jacobi.

  Los polinomios de Jacobi están definidos para todo a y b; sin embargo, el peso `(1 - x)^a (1 + x)^b` no es integrable para `a <= -1` o `b <= -1`.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.42, página 779.

Función: laguerre (n, x)

  Polinomio de Laguerre.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 22.5.16 y 22.5.54, página 780.

Función: legendre_p (n, x)

  Polinomio de Legendre de primera especie.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 22.5.50 y 22.5.51, página 779.

Función: legendre_q (n, x)

  Polinomio de Legendre de segunda especie.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 8.5.3 y 8.1.8.

Función: orthopoly_recur (f, args)

  Devuelve una relación recursiva para la familia de funciones ortogonales f con argumentos args. La recursión se hace con respecto al grado del polinomio.

      (%i1) orthopoly_recur (legendre_p, [n, x]);
                          (2 n + 1) P (x) x - n P     (x)
                                     n           n - 1
      (%o1)   P     (x) = -------------------------------
               n + 1                   n + 1

  El segundo argumento de `orthopoly_recur` debe ser una lista con el número correcto de argumentos para la función f; si no lo es, Maxima emite un mensaje de error.

      (%i1) orthopoly_recur (jacobi_p, [n, x]);

      Function jacobi_p needs 4 arguments, instead it received 2
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

  Además, si f no es el nombre de ninguna de las familias de polinomios ortogonales, se emite otro mensaje de error.

      (%i1) orthopoly_recur (foo, [n, x]);

      A recursion relation for foo isn't known to Maxima
       -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

Variable opcional: orthopoly_returns_intervals

  Valor por defecto: `true`

  Si `orthopoly_returns_intervals` vale `true`, los números decimales en coma flotante se retornan con el formato `interval (c, r)`, donde c es el centro del intervalo y r su radio. El centro puede ser un número complejo, en cuyo caso el intervalo es un disco en el plano complejo.

Función: orthopoly_weight (f, args)

  Devuelve una lista con tres elementos; el primer elemento es la fórmula del peso para la familia de polinomios ortogonales f con los argumentos dados por la lista args; el segundo y tercer elementos son los extremos inferior y superior del intervalo de ortogonalidad. Por ejemplo,

      (%i1) w : orthopoly_weight (hermite, [n, x]);
                                  2
                               - x
      (%o1)                 [%e    , - inf, inf]
      (%i2) integrate (w[1] * hermite (3, x) * hermite (2, x), x, w[2], w[3]);
      (%o2)                           0

  La variable principal de f debe ser un símbolo, en caso contrario Maxima emite un mensaje de error.

Función: pochhammer (n, x)

  Símbolo de Pochhammer. Para enteros no negativos n con `n <= pochhammer_max_index`, la expresión `pochhammer (x, n)` se evalúa como el producto `x (x + 1) (x + 2) ... (x + n - 1)` si `n > 0` y como 1 si `n = 0`. Para n negativo, `pochhammer (x, n)` se define como `(-1)^n / pochhammer (1 - x, -n)`. Así por ejemplo,

      (%i1) pochhammer (x, 3);
      (%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
      (%i2) pochhammer (x, -3);
                                       1
      (%o2)               - -----------------------
                            (1 - x) (2 - x) (3 - x)

  A fin de convertir el símbolo de Pochhammer en un cociente de funciones gamma (véase Abramowitz y Stegun, ecuación 6.1.22), hágase uso de `makegamma`. Por ejemplo,

      (%i1) makegamma (pochhammer (x, n));
                                gamma(x + n)
      (%o1)                     ------------
                                  gamma(x)

  Si n es mayor que `pochhammer_max_index` o si n es simbólico, `pochhammer` devuelve una forma nominal.

      (%i1) pochhammer (x, n);
      (%o1)                         (x)
                                       n

Variable opcional: pochhammer_max_index

  Valor por defecto: 100

  `pochhammer (n, x)` se evalúa como un producto si y sólo si `n <= pochhammer_max_index`.

  Ejemplos:

      (%i1) pochhammer (x, 3), pochhammer_max_index : 3;
      (%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
      (%i2) pochhammer (x, 4), pochhammer_max_index : 3;
      (%o2)                         (x)
                                       4

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 6.1.16, página 256.

Función: spherical_bessel_j (n, x)

  Función de Bessel esférica de primera especie.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 10.1.8, página 437 y 10.1.15, página 439.

Función: spherical_bessel_y (n, x)

  Función de Bessel esférica de segunda especie.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 10.1.9, página 437 y 10.1.15, página 439.

Función: spherical_hankel1 (n, x)

  Función esférica de Hankel de primera especie.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 10.1.36, página 439.

Función: spherical_hankel2 (n, x)

  Función esférica de Hankel de segunda especie.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 10.1.17, página 439.

Función: spherical_harmonic (n, m, x, y)

  Función armónica esférica.

  Referencia: Merzbacher 9.64.

Función: unit_step (x)

  Función de escalón unidad continua por la izquierda, definida de tal forma que `unit_step (x)` se anula para `x <= 0` y es igual a 1 para `x > 0`.

  En caso de ser necesaria una función escalón unidad que tome el valor 1/2 en el origen, utilícese `(1 + signum (x))/2`.

Función: ultraspherical (n, a, x)

  Polinomio ultraesférico o de Gegenbauer.

  Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.46, página 779.

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