Maxima Manual: 6. Ausdrücke

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# 6. Ausdrücke

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## 6.1 Einführung in Ausdrücke

Alles in Maxima, bis auf wenige Ausnahmen, sind Ausdrücke. Dazu gehören mathematische Ausdrücke wie `sqrt(2*a+b)` oder Kommandos wie `subst(a^2,b,sin(b+1)`. Auch Maxima-Programme sind Ausdrücke. Ausdrücke bestehen aus einem Atom oder einem Operator mit seinen Argumenten.

Ein Atom kann ein Symbol, eine Zeichenkette, eine ganze Zahl oder eine Gleitkommazahl sein. Jeder Ausdruck, der nicht ein Atom ist, hat die Darstellung `op(a_1, a_2, ..., a_n)`. `op` ist der Operator und `a_1`, …, `a_n` sind die Argumente des Operators. Die Argumente des Operators können Atome oder wiederum Operatoren mit Argumenten sein.

Da Maxima in Lisp programmiert ist, wird ein Ausdruck intern als eine Liste dargestellt, die die Gestalt `((op) a_1 a_2 ... a_n)` hat. Die arithmetischen Operatoren "+" und "*" haben zum Beispiel die interne Darstellung:

    x+y+10  -> ((mplus) 10 $x $y)
    2*x*x   -> ((mtimes) 2 $x $y)
    2*(x+y) -> ((mtimes) 2 ((mplus) $x $y)

Mathematische Funktionen wie die trigonometrischen Funktionen oder die Logarithmusfunktion werden von Maxima intern analog dargestellt:

    sin(x)          -> ((%sin) $x)
    log(y)          -> ((%log) $y)
    2*sin(x)+log(y) -> ((mplus) ((mtimes) 2 ((%sin) $x)) ((%log) $y))

Mehrere Ausdrücke können zusammengefaßt werden, indem die Ausdrücke durch Kommata getrennt und mit runden Klammern umgeben werden.

    (%i1) x: 3$
    (%i2) (x: x+1, x: x^2);
    (%o2)                          16
    (%i3) (if (x > 17) then 2 else 4);
    (%o3)                           4
    (%i4) (if (x > 17) then x: 2 else y: 4, y+x);
    (%o4)                          20

Auch Programmschleifen sind in Maxima Ausdrücke. Der Rückgabewert einer Programmschleife ist `done`.

    (%i1) y: (x: 1, for i from 1 thru 10 do (x: x*i))$
    (%i2) y;
    (%o2)                         done

Um einen anderen Rückgabewert als `done` zu erhalten, kann zum Beispiel der Wert der Variablen x nach dem Ende der Programmschleife ausgegeben werden.

    (%i3) y: (x: 1, for i from 1 thru 10 do (x: x*i), x)$
    (%i4) y;
    (%o4)                        3628800

Es gibt eine Anzahl an reservierten Namen, die nicht als Variablennamen verwendet werden sollten. Ihre Verwendung kann möglicherweise kryptische Fehlermeldungen erzeugen. Dazu gehören zum Beispiel die folgenden Namen:

       integrate            next           from                 diff
       in                   at             limit                sum
       for                  and            elseif               then
       else                 do             or                   if
       unless               product        while                thru
       step

Funktionen und Variablen um einen Teilausdruck zu isolieren:

       isolate     disolate  isolate_wrt_times   expisolate
       part        inpart    substpart           substinpart
       inflag      piece     partswitch
       pickapart

Funktionen und Variablen für Substantive und Verben:

       nounify   verbify     alias     aliases

Funktionen und Variablen, um zu prüfen, ob ein Teilausdruck enthalten ist und um eine Liste der Variablen eines Ausdrucks zu erstellen:

       freeof       lfreeof
       listofvars   listconstvars    listdummyvars

Funktionen und Variablen für Operatoren und Argumente:

       args    op    operatorp

Funktionen und Variablen für Substitutionen in Ausdrücke:

       subst psubst sublis exptsubst opsubst

Funktionen und Variablen für die kanonische Ordnung der Argumente eines Ausdrucks:

       ordergreat    orderless    unorder
       ordergreatp   orderlessp   ordermagnitudep

Weitere Funktionen und Variablen:

       nterms   optimize   optimprefix   partition

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## 6.2 Substantive und Verben

Operatoren und Funktionen können als Substantiv oder Verb vorliegen. Verben werden von Maxima ausgewertet. Substantive, die in einem Ausdruck auftreten, werden dagegen nicht ausgewertet, sondern vereinfacht. Die meisten mathematischen Funktionen sind Substantive. Funktionen wie `limit`, `diff` oder `integrate` sind standardmäßig Verben, die jedoch in ein Substantiv umgewandelt werden können. Ein Verb kann durch den Quote-Operator `'` oder mit der Funktion `nounify` in ein Substantiv umgewandelt werden. Der Auswertungsschalter `nouns` bewirkt, dass Substantive von der Funktion `ev` ausgewertet werden.

In der internen Darstellung von Maxima erhalten Lisp-Symbole, die ein Verb darstellen, ein führendes Dollarzeichen `$`. Lisp-Symbole, die ein Substantiv darstellen, erhalten ein führendes Prozentzeichen `%`. Einige Substantive wie `'integrate` oder `'derivative` haben eine spezielle Darstellung für die Ausgabe. Standardmäßig werden jedoch Substantive und Verben identisch dargestellt. Hat die Optionsvariable `noundisp` den Wert `true`, werden Substantive mit einem führenden Hochkommata angezeigt.

Siehe auch `noun`, `nouns`, `nounify` und `verbify`.

Beispiele:

    (%i1) foo (x) := x^2;
                                         2
    (%o1)                     foo(x) := x
    (%i2) foo (42);
    (%o2)                         1764
    (%i3) 'foo (42);
    (%o3)                        foo(42)
    (%i4) 'foo (42), nouns;
    (%o4)                         1764
    (%i5) declare (bar, noun);
    (%o5)                         done
    (%i6) bar (x) := x/17;
                                         x
    (%o6)                    ''bar(x) := --
                                         17
    (%i7) bar (52);
    (%o7)                        bar(52)
    (%i8) bar (52), nouns;
                                   52
    (%o8)                          --
                                   17
    (%i9) integrate (1/x, x, 1, 42);
    (%o9)                        log(42)
    (%i10) 'integrate (1/x, x, 1, 42);
                                 42
                                /
                                [   1
    (%o10)                      I   - dx
                                ]   x
                                /
                                 1
    (%i11) ev (%, nouns);
    (%o11)                       log(42)

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## 6.3 Bezeichner

Maxima Bezeichner bestehen aus den Buchstaben des Alphabets und den Zahlzeichen 0 bis 9. Sonderzeichen können in einem Bezeichner mit einem vorangestellten Backslash `\` verwendet werden, zum Beispiel `a\&b`.

Ein Zahlzeichen kann der erste Buchstabe eines Bezeichners sein, wenn ihm ein Backslash vorangestellt ist, zum Beispiel `\2and3`. Zahlzeichen, die an anderen Stellen auftreten, muss kein Backslash vorangestellt werden, zum Beispiel `is5`.

Sonderzeichen können mit der Funktion `declare` als alphabetisch erklärt werden. In diesem Fall muss dem Sonderzeichen kein Backslash vorangestellt werden, wenn es in einem Bezeichner genutzt wird. Die Zeichen `A` bis `Z`, `a` bis `z` und `0` bis `9` sowie die Zeichen `%` und `_` haben bereits die Eigenschaft alphabetisch.

Maxima unterscheidet Groß- und Kleinschreibung. So werden von Maxima `foo`, `FOO` oder `Foo` unterschieden. Ein Maxima-Bezeichner ist ein Lisp-Symbol, dem ein Dollarzeichen `$` vorangestellt ist. Lisp-Symbolen, die in Maxima verwendet werden sollen, ist ein Fragezeichen `?` vorangestellt. Siehe das Kapitel Lisp und Maxima für eine ausführlichere Beschreibung.

Beispiele:

    (%i1) %an_ordinary_identifier42;
    (%o1)               %an_ordinary_identifier42
    (%i2) embedded\ spaces\ in\ an\ identifier;
    (%o2)           embedded spaces in an identifier
    (%i3) symbolp (%);
    (%o3)                         true
    (%i4) [foo+bar, foo\+bar];
    (%o4)                 [foo + bar, foo+bar]
    (%i5) [1729, \1729];
    (%o5)                     [1729, 1729]
    (%i6) [symbolp (foo\+bar), symbolp (\1729)];
    (%o6)                     [true, true]
    (%i7) [is (foo\+bar = foo+bar), is (\1729 = 1729)];
    (%o7)                    [false, false]
    (%i8) baz\~quux;
    (%o8)                       baz~quux
    (%i9) declare ("~", alphabetic);
    (%o9)                         done
    (%i10) baz~quux;
    (%o10)                      baz~quux
    (%i11) [is (foo = FOO), is (FOO = Foo), is (Foo = foo)];
    (%o11)                [false, false, false]
    (%i12) :lisp (defvar *my-lisp-variable* '$foo)
    *MY-LISP-VARIABLE*
    (%i12) ?\*my\-lisp\-variable\*;
    (%o12)                         foo

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## 6.4 Funktionen und Variablen für Ausdrücke

Funktion: alias (new_name_1, old_name_1, …, new_name_n, old_name_n)

  Die Funktion `alias` ermöglicht einen alternativen Alias-Namen für eine Maxima-Funktion, einer Variablen oder einem Array. Der Funktion `alias` kann eine beliebige Anzahl von paarweisen Namen und Alias-Namen übergeben werden.

  `alias` gibt eine Liste mit den Symbolen zurück, denen ein Alias-Name zugewiesen werden konnte. Wurde einem Symbol bereits derselbe Alias-Name gegeben, enthält die Liste den Wert `false`. Wird versucht einem Symbol, das bereits einen Alias-Namen hat, einen neuen Alias-Namen zu geben, bricht `alias` mit einer Fehlermeldung ab.

  Symbole, die einen Alias-Namen erhalten haben, werden in die Systemvariable `aliases` eingetragen. Siehe die Systemvariable `aliases`.

  Die Funktionen `ordergreat` und `orderless` sowie die Deklaration eines Symbols als ein `noun` mit der Funktion `declare` erzeugen automatisch Alias-Namen, die in die Liste `aliases` eingetragen werden.

  Der Alias-Name kann mit der Funktion `kill` entfernt werden.

  Beispiel:

      (%i1) alias(mysqrt,sqrt);
      (%o1)                        [sqrt]
      (%i2) aliases;
      (%o2)                        [sqrt]
      (%i3) mysqrt(4);
      (%o3)                           2
      (%i4) kill(mysqrt);
      (%o4)                         done
      (%i5) mysqrt(4);
      (%o5)                       mysqrt(4)
      (%i6) aliases;
      (%o6)                          []

Systemvariable: aliases

  Anfangswert: `[]`

  Die Systemvariable `aliases` ist eine Informationsliste der Symbole, die einen vom Nutzer definierten Alias-Namen mit dem Kommando `alias` erhalten haben. Weiterhin werden von den Funktionen `ordergreat` und `orderless` sowie bei der Deklaration eines Symbols als ein `noun` mit der Funktion `declare` Alias-Namen generiert, die in die Liste `aliases` eingetragen werden.

  Siehe auch die Funktion `alias` für ein Beispiel.

Schlüsselwort: allbut

  Das Schlüsselwort `allbut` wird bei `part`-Befehlen wie `part`, `inpart`, `substpart`, `substinpart`, `dpart` und `lpart` genutzt, um Indizes bei der Auswahl von Teilausdrücken auszuschließen.

  Das Schlüsselwort `allbut` kann auch zusammen mit dem Kommando `kill` verwendet werden. `kill(allbut(a_1, a_2, ...))` hat denselben Effekt wie `kill(all)` mit der Ausnahme, dass die Symbole a_1, a_2, … von `kill` ausgenommen werden. Siehe die Funktion `kill`.

  Beispiele:

      (%i1) expr : e + d + c + b + a;
      (%o1)                   e + d + c + b + a
      (%i2) part (expr, [2, 5]);
      (%o2)                         d + a

      (%i3) expr : e + d + c + b + a;
      (%o3)                   e + d + c + b + a
      (%i4) part (expr, allbut (2, 5));
      (%o4)                       e + c + b

  Das Schlüsselwort `allbut` kann zusammen mit dem Kommando `kill` verwendet werden.

      (%i1) [aa : 11, bb : 22, cc : 33, dd : 44, ee : 55];
      (%o1)                 [11, 22, 33, 44, 55]
      (%i2) kill (allbut (cc, dd));
      (%o0)                         done
      (%i1) [aa, bb, cc, dd];
      (%o1)                   [aa, bb, 33, 44]

Funktion: args (expr)

  Die Funktion `args` gibt eine Liste mit den Argumenten des Hauptoperators des Ausdrucks expr zurück.

  Die Anordnung der Argumente der Ergebnisliste wird von der Optionsvariablen `inflag` beeinflußt. Hat `inflag` den Wert `true`, ist die Anordnung entsprechend der internen Darstellung des Ausdrucks expr. Ansonsten ist die Anordnung wie in der externen Darstellung für die Anzeige. Siehe die Optionsvariable `inflag`.

  `args(expr)` ist äquivalent zu `substpart("[", expr, 0)`. Siehe auch `substpart` und `op`.

  Beispiele:

      (%i1) args(gamma_incomplete(a,x));
      (%o1)                        [a, x]
      (%i2) args(x+y+z);
      (%o2)                       [z, y, x]
      (%i3) args(x+y+z),inflag:true;
      (%o3)                       [x, y, z]
      (%i4) args(x+2*a);
      (%o4)                       [x, 2 a]

Funktion: atom (expr)

  Gibt den Wert `true` zurück, wenn das Argument expr ein Atom ist. Atome sind ganze Zahlen, Gleitkommazahlen, Zeichenketten und Symbole. Siehe auch die Funktionen `symbolp` und `listp`.

  Beispiele:

      (%i1) atom(5);
      (%o1)                         true
      (%i2) atom(5.0);
      (%o2)                         true
      (%i3) atom(5.0b0);
      (%o3)                         true
      (%i4) atom(1/2);
      (%o4)                         false
      (%i5) atom('a);
      (%o5)                         true
      (%i6) atom(2*x);
      (%o6)                         false
      (%i7) atom("string");
      (%o7)                         true

Funktion: box (expr)
Funktion: box (expr, a)

  Die Funktion `box(expr)` umschließt den Ausdruck expr in der Ausgabe mit einem Rahmen, wenn `display2d` den Wert `true` hat. Ansonsten ist der Rückgabewert ein Ausdruck mit `box` als Operator und expr als Argument.

  `box(expr, a)` umschließt expr mit einem Rahmen, der mit einer Marke a bezeichnet ist. Ist die Marke länger als der Rahmen, werden Zeichen abgeschnitten.

  Die Funktion `box` wertet ihre Argumente aus. Die eingerahmten Ausdrücke werden dagegen nicht mehr ausgewertet.

  Die Optionsvariable `boxchar` enthält das Zeichen, das von den Funktionen `box` sowie `dpart` und `lpart` verwendet wird, um den Rahmen auszugeben.

  Beispiele:

      (%i1) box (a^2 + b^2);
                                  """""""""
                                  " 2    2"
      (%o1)                       "b  + a "
                                  """""""""
      (%i2) a : 1234;
      (%o2)                         1234
      (%i3) b : c - d;
      (%o3)                         c - d
      (%i4) box (a^2 + b^2);
                            """"""""""""""""""""
                            "       2          "
      (%o4)                 "(c - d)  + 1522756"
                            """"""""""""""""""""
      (%i5) box (a^2 + b^2, term_1);
                            term_1""""""""""""""
                            "       2          "
      (%o5)                 "(c - d)  + 1522756"
                            """"""""""""""""""""
      (%i6) 1729 - box (1729);
                                       """"""
      (%o6)                     1729 - "1729"
                                       """"""

Optionsvariable: boxchar

  Standardwert: `"`

  Die Optionsvariable `boxchar` enthält das Zeichen, welches von den Funktionen `box` sowie `dpart` und `lpart` genutzt wird, um einen Rahmen auszugeben.

  Die Rahmen werden immer mit dem aktuellen Wert von `boxchar` ausgegeben. Das Zeichen `boxchar` wird nicht zusammen mit dem eingerahmten Ausdruck gespeichert.

Funktion: collapse (expr)
Funktion: collapse ([expr_1, expr_2, …])

  Komprimiert einen Ausdruck expr, indem gemeinsame Teilausdrücke denselben Speicher nutzen. `collapse` wird von der Funktion `optimize` aufgerufen. `collapse` kann auch mit einer Liste aufgerufen werden, die mehrere Argumente enthält.

  Siehe auch die Funktion `optimize`.

Funktion: dispform (expr)
Funktion: dispform (expr, all)

  `dispform` formatiert den Ausdruck expr von der internen Darstellung in eine externe Darstellung, wie sie für die Anzeige des Ausdrucks benötigt wird. Bei der Formatierung sind Optionsvariablen wie `dispflag` und `powerdisp` wirksam.

  Beispiele für die interne und externe Darstellung von Ausdrücken sind:

                Interne Darstellung            Externe Darstellung
      ------------------------------------------------------------
      -x      : ((MTIMES) -1 $x)               ((MMINUS) $x)
      sqrt(x) : ((MEXPT) $x ((RAT) 1 2))       ((%SQRT) $X)
      a/b     : ((MTIMES) $A ((MEXPT) $B -1))  ((MQUOTIENT) $A $B)

  `dispform(expr)` gibt die externe Darstellung nur für den ersten Operator im Ausdruck zurück. `dispform(expr, all)` gibt die externe Darstellung aller Operatoren im Ausdruck expr zurück.

  Siehe auch `part`, `inpart` und `inflag`.

  Beispiel:

  Die Funktion `dispform` kann genutzt werden, um die Wurzelfunktion in einem Ausdruck zu substituieren. Die Wurzelfunktion ist nur in der externen Darstellung eines Ausdruckes vorhanden:

      (%i1) expr: sqrt(5)/(5+sqrt(2));
                                   sqrt(5)
      (%o1)                      -----------
                                 sqrt(2) + 5
      (%i2) subst(f,sqrt,expr);
                                   sqrt(5)
      (%o2)                      -----------
                                 sqrt(2) + 5
      (%i3) subst(f,sqrt,dispform(expr));
                                    f(5)
      (%o3)                      -----------
                                 sqrt(2) + 5
      (%i4) subst(f,sqrt,dispform(expr,all));
                                    f(5)
      (%o4)                       --------
                                  f(2) + 5

Funktion: disolate (expr, x_1, …, x_n)

  Die Funktion `disolate` arbeitet ähnlich wie die Funktion `isolate`. Teilausdrücke im Ausdruck expr, die die Variablen x_1, …, x_n nicht enthalten, werden durch Zwischenmarken `%t1`, `%t2`, … ersetzt. Im Unterschied zu der Funktion `isolate` kann die Funktion `disolate` Teilausdrücke zu mehr als einer Variablen aus einem Ausdruck isolieren.

  Die Ersetzung von Teilausdrücken durch Zwischenmarken kann mit der Optionsvariable `isolate_wrt_times` kontrolliert werden. Hat die Optionsvariable `isolate_wrt_times` den Wert `true`, werden Ersetzungen in Produkten ausgeführt. Der Standardwert ist `false`. Siehe `isolate_wrt_times` für Beispiele.

  Die Optionsvariable `exptisolate` hat im Unterschied zur Funktion `isolate` keinen Einfluss auf die Ersetzung von Teilausdrücken durch Zwischenmarken.

  `disolate` wird automatisch aus der Datei ``share/simplification/disol.mac'` geladen. Das Kommando `demo(disol)$` zeigt Beispiele.

  Siehe auch die Funktion `isolate`.

  Beispiel:

      (%i1) expr:a*(e*(g+f)+b*(d+c));
      (%o1)               a (e (g + f) + b (d + c))
      (%i2) disolate(expr,a,b,e);
      (%t2)                         d + c

      (%t3)                         g + f

      (%o3)                   a (%t3 e + %t2 b)

Funktion: dpart (expr, n_1, …, n_k)

  Wählt wie die Funktion `part` einen Teilausdruck aus, gibt aber den vollständigen Ausdruck zurück, wobei der ausgewählte Teilausdruck eingerahmt ist. Der Rahmen ist Teil des zurückgegebenen Ausdrucks.

  Siehe auch `part`, `inpart` und `lpart` sowie `box`.

  Beispiel:

      (%i1) dpart (x+y/z^2, 1, 2, 1);
                                   y
      (%o1)                       ---- + x
                                     2
                                  """
                                  "z"
                                  """

Optionsvariable: exptisolate

  Standardwert: `false`

  Hat `exptisolate` den Wert `true`, dann sucht die Funktion `isolate` auch in den Exponenten von Zahlen oder Symbolen nach Teilausdrücken zu einer Variablen.

  Siehe die Funktion `isolate` für Beispiele.

Optionsvariable: exptsubst

  Standardwert: `false`

  Die Optionsvariable `exptsubst` kontrolliert die Substitution von Ausdrücken mit der Exponentialfunktion durch die Funktionen `subst` und `psubst`.

  Beispiele:

      (%i1) subst(y,%e^x,%e^(a*x)),exptsubst:false;
                                      a x
      (%o1)                         %e
      (%i2) subst(y,%e^x,%e^(a*x)),exptsubst:true;
                                      a
      (%o2)                          y

Funktion: freeof (x, expr)
Funktion: freeof (x_1, …, x_n, expr)

  `freeof(x, expr)` gibt das Ergebnis `true` zurück, wenn das Argument x nicht im Ausdruck expr enthalten ist. Ansonsten ist der Rückgabewert `false`.

  `freeof(x_1, ..., x_n, expr)` gibt das Ergebnis `true` zurück, wenn keines der Argumente x_1, x_2, … im Ausdruck expr enthalten ist.

  Die Argumente x_1, …, x_n können die Namen von Funktionen und Variablen sein, indizierte Namen, die Namen von Operatoren oder allgemeine Ausdrücke. Die Funktion `freeof` wertet die Argumente aus.

  Bei der Prüfung, ob ein Teilausdruck x im Ausdruck expr enthalten ist, untersucht die Funktion `freeof` den Ausdruck expr in der vorliegenden Form (nach Auswertung und Vereinfachung) und versucht nicht herauszufinden, ob der Teilausdruck in einem äquivalenten Ausdruck enthälten wäre.

  `freeof` ignoriert Dummy-Variablen. Dummy-Variablen sind Variablen, die außerhalb eines Ausdrucks nicht in Erscheinung treten. Folgende Dummy-Variablen werden von `freeof` ignoriert: der Index einer Summe oder eines Produktes, die unabhängige Variable in einem Grenzwert, die Integrationsvariable eines bestimmten Integrals oder einer Laplacetransformation, formale Variablen in `at`- oder `lambda`-Ausdrücke, lokale Variablen eines Blocks oder einer `do`-Schleife.

  Das unbestimmte Integral ist nicht frei von der Integrationsvariablen.

  Beispiele:

  Argumente sind Namen von Funktionen, Variablen, indizierten Variablen, Operatoren und Ausdrücke. `freeof(a, b, expr)` ist äquivalent zu `freeof(a, expr) and freeof(b, expr)`.

      (%i1) expr: z^3 * cos (a[1]) * b^(c+d);
                                       d + c  3
      (%o1)                   cos(a ) b      z
                                   1
      (%i2) freeof(z, expr);
      (%o2)                         false
      (%i3) freeof(cos, expr);
      (%o3)                         false
      (%i4) freeof(a[1], expr);
      (%o4)                         false
      (%i5) freeof(cos (a[1]), expr);
      (%o5)                         false
      (%i6) freeof(b^(c+d), expr);
      (%o6)                         false
      (%i7) freeof("^", expr);
      (%o7)                         false
      (%i8) freeof(w, sin, a[2], sin (a[2]), b*(c+d), expr);
      (%o8)                         true

  Die Funktion `freeof` wertet die Argumente aus.

      (%i1) expr: (a+b)^5$
      (%i2) c: a$
      (%i3) freeof(c, expr);
      (%o3)                         false

  `freeof` betrachtet keine äquivalenten Ausdrücke. Vereinfachungen können einen äquivalenten Ausdruck liefern, der jedoch den Teilausdruck nicht mehr enthält.

      (%i1) expr: (a+b)^5$
      (%i2) expand(expr);
                5        4       2  3       3  2      4      5
      (%o2)    b  + 5 a b  + 10 a  b  + 10 a  b  + 5 a  b + a
      (%i3) freeof(a+b, %);
      (%o3)                         true
      (%i4) freeof(a+b, expr);
      (%o4)                         false

  Die Exponentialfunktion `exp(x)` wird von Maxima sofort zu `%e^x` vereinfacht. Der Name `exp` der Exponentialfunktion ist daher nicht in einem Ausdruck enthalten.

      (%i5) exp(x);
                                       x
      (%o5)                          %e
      (%i6) freeof(exp, exp (x));
      (%o6)                         true

  Eine Summe ist frei von dem Index und ein bestimmtes Integral ist frei von der Integrationsvariablen. Ein unbestimmtes Integral ist nicht frei von der Integrationsvariablen.

      (%i1) freeof(i, 'sum (f(i), i, 0, n));
      (%o1)                         true
      (%i2) freeof(x, 'integrate (x^2, x, 0, 1));
      (%o2)                         true
      (%i3) freeof(x, 'integrate (x^2, x));
      (%o3)                         false

Optionsvariable: inflag

  Standardwert: `false`

  Hat die Optionsvariable `inflag` den Wert `true`, wird von Funktionen, die Teile eines Ausdrucks `expr` extrahieren, die interne Form des Ausdrucks `expr` betrachtet.

  Die Anordnung der Argumente der internen Darstellung unterscheidet sich zum Beispiel für die Addition von der externen Darstellung für die Anzeige. Daher hat `first(x+y)` das Ergebnis `x`, wenn `inflag` den Wert `true` hat, und `y`, wenn `inflag` den Wert `false` hat. Der Ausdruck `first(y+x)` gibt in beiden Fällen dasselbe Ergebnis.

  Hat `inflag` den Wert `true`, entsprechen die Funktionen `part` und `substpart` den Funktionen `inpart` und `substinpart`.

  Folgende Funktionen werden von der Optionsvariablen `inflag` beeinflusst: `part`, `substpart`, `first`, `rest`, `last`, `length`, die Konstruktion `for` … `in`, `map`, `fullmap`, `maplist`, `reveal`, `pickapart`, `args` und `op`.

Funktion: inpart (expr, n_1, …, n_k)

  Die Funktion `inpart` ist ähnlich wie `part`, arbeitet aber mit der internen Darstellung eines Ausdruckes und nicht mit der externen Darstellung für die Anzeige. Da keine Formatierung vorgenommen wird, ist die Funktion `inpart` schneller als `part`.

  Immer dann, wenn sich die interne und die externe Darstellung eines Ausdrucks voneinander unterscheiden, haben die Funktionen `inpart` und `part` verschiedene Ergebnisse. Dies trifft zu für die Anordnung der Argumente einer Addition, der Subtraktion und Division sowie zum Beispiel für die Wurzelfunktion.

  Ist das letzte Argument einer `part`-Funktion eine Liste mit Indizes, werden mehrere Teilausdrücke heraus gepickt. So hat `inpart(x + y + z, [1, 3])` das Ergebnis `z+x`.

  Siehe auch `part`, `dpart` und `lpart`.

  Beispiele:

      (%i1) x + y + w*z;
      (%o1)                      w z + y + x
      (%i2) inpart (%, 3, 2);
      (%o2)                           z
      (%i3) part (%th (2), 1, 2);
      (%o3)                           z
      (%i4) 'limit (f(x)^g(x+1), x, 0, minus);
                                        g(x + 1)
      (%o4)                 limit   f(x)
                            x -> 0-
      (%i5) inpart (%, 1, 2);
      (%o5)                       g(x + 1)

Funktion: isolate (expr, x)

  Teilausdrücke im Ausdruck expr, die die Variable x nicht enthalten, werden durch Zwischenmarken `%t1`, `%t2`, … ersetzt. Dies kann genutzt werden, um die weitere Auswertung und Vereinfachung dieser Teilausdrücke zu verhindern. Die Ersetzung der Teilausdrücke kann durch eine Auswertung des Ausdrucks rückgängig gemacht werden.

  Die Ersetzung von Teilausdrücken kann mit den Optionsvariablen `exptisolate` und `isolate_wrt_times` kontrolliert werden. Hat die Optionsvariable `exptisolate` den Wert `true`, werden Ersetzungen auch für die Exponentiation ausgeführt. Die Basis muss dabei eine Zahl oder ein Symbol wie `%e` sein. Hat die Optionsvariable `isolate_wrt_times` den Wert `true`, werden Ersetzungen in Produkten ausgeführt. Siehe `isolate_wrt_times` für Beispiele.

  Die Ersetzung von Teilausdrücken für mehrere Variable kann mit der Funktion `disolate` ausgeführt werden. Siehe `disolate`.

  Beispiele:

      (%i1) (b+a)^4*(x*((d+c)^2+2*x)+1);
                             4                  2
      (%o1)           (b + a)  (x (2 x + (d + c) ) + 1)
      (%i2) isolate(%,x);

                                         2
      (%t2)                       (d + c)

                                         4
      (%t3)                       (b + a)

      (%o3)                %t3 (x (2 x + %t2) + 1)
      (%i4) ratexpand(%);
                                2
      (%o4)              2 %t3 x  + %t2 %t3 x + %t3
      (%i5) ev(%);
                        4  2          4        2            4
      (%o5)    2 (b + a)  x  + (b + a)  (d + c)  x + (b + a)
      (%i6) (b+a)*(b+a+x)^2*%e^(b+a*x+x^2);
                                             2
                                        2   x  + a x + b
      (%o6)          (b + a) (x + b + a)  %e
      (%i7) ev(isolate(%,x),exptisolate:true);

      (%t7)                         b + a

                                       b
      (%t8)                          %e

                                              2
                                         2   x  + a x
      (%o8)             %t7 %t8 (x + %t7)  %e

Optionsvariable: isolate_wrt_times

  Standardwert: `false`

  Hat die Optionsvariable `isolate_wrt_times` den Wert `true`, führen die Funktionen `isolate` und `disolate` auch Ersetzungen in Produkten aus.

  Siehe auch die Funktionen `isolate` und `disolate`.

  Beispiele:

      (%i1) isolate_wrt_times: true$
      (%i2) isolate (expand ((a+b+c)^2), c);

      (%t2)                          2 a

      (%t3)                          2 b

                                2            2
      (%t4)                    b  + 2 a b + a

                           2
      (%o4)               c  + %t3 c + %t2 c + %t4
      (%i4) isolate_wrt_times: false$
      (%i5) isolate (expand ((a+b+c)^2), c);
                           2
      (%o5)               c  + 2 b c + 2 a c + %t4

Optionsvariable: listconstvars

  Standardwert: `false`

  Hat die Optionsvariable `listconstvars` den Wert `true`, werden Konstante wie `%e`, `%pi` und Variablen, die als konstant deklariert sind, von der Funktion `listofvars` in die Ergebnisliste aufgenommen. Der Standardwert von `listconstvars` ist `false` und Konstante werden ignoriert.

Optionsvariable: listdummyvars

  Standardwert: `true`

  Hat `listdummyvars` den Wert `false`, werden die Dummy-Variablen eines Ausdrucks von der Funktion `listofvars` ignoriert. Dummy-Variablen sind zum Beispiel der Index einer Summe, die Grenzwertvariable oder die Integrationsvariable eines bestimmten Integrals.

  Beispiele:

      (%i1) listdummyvars: true$
      (%i2) listofvars ('sum(f(i), i, 0, n));
      (%o2)                        [i, n]
      (%i3) listdummyvars: false$
      (%i4) listofvars ('sum(f(i), i, 0, n));
      (%o4)                          [n]

Funktion: listofvars (expr)

  Die Funktion `listofvars` gibt eine Liste der Variablen zurück, die im Ausdruck expr enthalten sind.

  Hat die Optionsvariable `listconstvars` den Wert `true`, werden auch Konstante wie `%e`, `%pi` und `%i` sowie als konstant deklarierte Variable in die Liste aufgenommen. Der Standardwert von `listconstvars` ist `false`.

  Siehe entsprechend die Optionsvariable `listdummyvars` für Dummy-Variablen.

  Beispiel:

      (%i1) listofvars (f (x[1]+y) / g^(2+a));
      (%o1)                     [g, a, x , y]
                                        1

Funktion: lfreeof (list, expr)

  Für jedes Element m der Liste list wird die Funktion `freeof` aufgerufen. `lfreeof` hat den Rückgabewert `true`, wenn keines der Elemente der Liste list im Ausdruck `expr` enthalten ist. Ansonsten ist der Rückgabewert `false`.

  Siehe auch die Funktion `freeof`.

Funktion: lpart (label, expr, n_1, …, n_k)

  Die Funktion `lpart` ist ähnlich zu `dpart`, verwendet aber einen Rahmen, der mit einer Marke gekennzeichnet ist.

  Siehe auch `part`, `inpart` und `dpart`.

Eigenschaft: mainvar

  Die Deklaration einer Variablen als eine Hauptvariable mit der Funktion `declare` ändert deren Anordnung in einem Ausdruck der kanonisch geordnet ist. Hauptvariable sind bezüglich der Funktionen `ordergreatp` und `orderlessp` stets größer als alle anderen Symbole, Konstanten und Zahlen.

  Beispiel:

      (%i1) sort([9, 1, %pi, g, t, a]);
      (%o1)                 [1, 9, %pi, a, g, t]

      (%i2) declare(a, mainvar)$
      (%i3) sort([9, 1, %pi, g, t, a]);
      (%o3)                 [1, 9, %pi, g, t, a]

Eigenschaft: noun

  `noun` ist eine der Optionen des Kommandos `declare`. Wird eine Funktion als `noun` deklariert, wird diese als Substantivform behandelt und nicht ausgewertet.

  Ein Symbol `f`, dass als `noun` deklariert wird, wird in die Informationsliste `aliases` eingetragen und die Rückgabe der Funktion `properties` enthält den Eintrag `noun`.

  Beispiel:

      (%i1) factor (12345678);
                                   2
      (%o1)                     2 3  47 14593
      (%i2) declare (factor, noun);
      (%o2)                         done
      (%i3) factor (12345678);
      (%o3)                   factor(12345678)
      (%i4) ''%, nouns;
                                   2
      (%o4)                     2 3  47 14593

Optionsvariable: noundisp

  Standardwert: `false`

  Hat `noundisp` den Wert `true`, werden Substantivformen mit einem vorangestelltem Hochkomma angezeigt. Diese Optionsvariable hat immer den Wert `true`, wenn die Definition von Funktionen angezeigt wird.

Funktion: nounify (f)

  Die Funktion `nounify` gibt den Namen einer Funktion f in einer Substantivform zurück. Der Name f ist ein Symbol oder eine Zeichenkette.

  Einige Funktionen geben eine Substantivform zurück, wenn die Funktion nicht ausgewertet werden kann. Wird einem Funktionsaufruf wie zum Beispiel `'f(x)` oder `'(f(x))` ein Hochkomma vorangestellt, wird ebenfalls eine Substantivform zurückgegeben.

  Siehe auch die Funktion `verbify`.

Funktion: nterms (expr)

  Die Funktion `nterms` gibt die Anzahl der Terme des Ausdrucks expr zurück, wobei der Ausdruck als vollständig expandiert angenommen wird, ohne dass Terme gekürzt oder zusammengefasst werden.

  Ausdrücke wie `sin(expr)`, `sqrt(expr)` oder `exp(expr)` werden dabei als ein Term gezählt.

Funktion: op (expr)

  Die Funktion `op` gibt den Hauptoperator des Ausdrucks expr zurück. `op(expr)` ist äquivalent zu `part(expr, 0)`.

  Ist der Hauptoperator des Ausdrucks expr ein Operator wie "+", "*" oder "/" wird der Name des Operators als Zeichenkette zurückgegeben. Andernfalls wird ein Symbol zurückgegeben.

  `op` beachtet den Wert der Optionsvariablen `inflag`. `op` wertet die Argumente aus. Siehe auch `args`.

  Beispiele:

      (%i1) stringdisp: true$
      (%i2) op (a * b * c);
      (%o2)                          "*"
      (%i3) op (a * b + c);
      (%o3)                          "+"
      (%i4) op ('sin (a + b));
      (%o4)                          sin
      (%i5) op (a!);
      (%o5)                          "!"
      (%i6) op (-a);
      (%o6)                          "-"
      (%i7) op ([a, b, c]);
      (%o7)                          "["
      (%i8) op ('(if a > b then c else d));
      (%o8)                         "if"
      (%i9) op ('foo (a));
      (%o9)                          foo
      (%i10) prefix (foo);
      (%o10)                        "foo"
      (%i11) op (foo a);
      (%o11)                        "foo"
      (%i12) op (F [x, y] (a, b, c));
      (%o12)                        F
                                     x, y
      (%i13) op (G [u, v, w]);
      (%o13)                          G

Funktion: operatorp (expr, op)
Funktion: operatorp (expr, [op_1, …, op_n])

  Das Kommando `operatorp(expr, op)` gibt `true` zurück, wenn op der Hauptoperator des Ausdrucks expr ist.

  `operatorp(expr, [op_1, ..., op_n])` gibt `true` zurück, wenn einer der Operatoren op_1, …, op_n der Hauptoperator des Ausdrucks expr ist.

Optionsvariable: opsubst

  Hat die Optionsvariable `opsubst` den Wert `false`, führt die Funktion `subst` keine Substitution in einen Operator eines Ausdrucks aus. Zum Beispiel hat `(opsubst: false, subst(x^2, r, r+r[0]))` das Ergebnis `x^2+r[0]`.

Funktion: optimize (expr)

  Die Funktion `optimize` gibt einen Ausdruck zurück, der dasselbe Ergebnis und dieselben Seiteneffekte wie expr hat, der jedoch effizienter ausgewertet werden kann. Im neuen Ausdruck wird die mehrfache Berechnung gleicher Teilausdrücke vermieden und gleiche Teilausdrücke werden zusammengefasst.

  Siehe auch die Funktion `collapse`.

  `example(optimize)` zeigt ein Beispiel.

Optionsvariable: optimprefix

  Standardwert: `%`

  Die Optionsvariable `optimprefix` enthält den Präfix, der von der Funktion `optimize` benutzt wird, um einen Teilausdruck zu benennen.

Funktion: ordergreat (v_1, …, v_n)
Funktion: orderless (v_1, …, v_n)

  Die Funktion `ordergreat` ändert die kanonische Anordnung der Symbole so, dass v_1 > v_2 > … > v_n. Weiterhin ist v_n kleiner als jedes andere Symbol, das nicht in der Liste enthalten ist.

  `orderless` ändert die kanonische Anordnung der Symbole so, dass v_1 < v_2 < … < v_n. Weiterhin ist v_n größer als jedes andere Symbol, das nicht in der Liste enthalten ist.

  Die durch `ordergreat` und `orderless` definierte Ordnung wird durch `unorder` wieder aufgehoben. `ordergreat` und `orderless` können jeweils nur einmal aufgerufen werden, solange nicht mit `unorder` zuvor die definierte Ordnung aufgehoben wird.

  Siehe auch `ordergreatp`, `orderlessp` und `mainvar`.

Funktion: ordergreatp (expr_1, expr_2)
Funktion: orderlessp (expr_1, expr_2)

  Die Funktion `ordergreatp` gibt `true` zurück, wenn in der kanonischen Ordnung von Maxima expr_1 größer als expr_2 ist. Ansonsten ist das Ergebnis `false`.

  Die Funktion `orderlessp` gibt `true` zurück, wenn in der kanonischen Ordnung von Maxima expr_1 kleiner als expr_2 ist. Ansonsten ist das Ergebnis `false`.

  Alle Maxima-Atome und Ausdrücke sind vergleichbar unter `ordergreatp` und `orderlessp`. Die kanonische Ordnung von Atomen ist folgendermaßen:

  Numerische Konstanten < deklarierte Konstanten < deklarierte Skalare < erstes Argument von `orderless` < weitere Argumente von `orderless` < letztes Argument von `orderless` < Variablen beginnend mit a, ... < Variablen beginnend mit Z < letzte Argument von `ordergreat` < weitere Argumente von `ordergreat` < erste Argument von `ordergreat` < deklarierte Hauptvariablen.

  Die Ordnung für Ausdrücke, die keine Atome sind, wird von der für Atome abgeleitet. Für die Operatoren `"+"`, `"*"` und `"^"` kann die Ordnung nicht einfach beschrieben werden. Andere Operatoren, Funktionen und Ausdrücke werden angeordnet nach den Argumenten, dann nach den Namen. Bei Ausdrücken mit Indizes wird der Name des Symbols als Operator und der Index als Argument betrachtet.

  Die kanonische Ordnung der Ausdrücke wird modifiziert durch die Funktionen `ordergreat` und `orderless` sowie der Deklarationen `mainvar`, `constant` und `scalar`.

  Siehe auch `sort`.

  Beispiele:

  Ordne Symbole und Konstanten. `%pi` wird nicht nach dem numerischen Wert sortiert, sondern wie eine Konstante.

      (%i1) stringdisp : true;
      (%o1)                         true
      (%i2) sort ([%pi, 3b0, 3.0, x, X, "foo", 3, a, "bar", 4.0, 4b0]);
      (%o2) [3, 3.0, 4.0, 3.0b0, 4.0b0, %pi, "bar", "foo", a, x, X]

  Anwendung der Funktionen `ordergreat` und `orderless`.

      (%i1) sort ([M, H, K, T, E, W, G, A, P, J, S]);
      (%o1)           [A, E, G, H, J, K, M, P, S, T, W]
      (%i2) ordergreat (S, J);
      (%o2)                         done
      (%i3) orderless (M, H);
      (%o3)                         done
      (%i4) sort ([M, H, K, T, E, W, G, A, P, J, S]);
      (%o4)           [M, H, A, E, G, K, P, T, W, J, S]

  Anwendung der Deklarationen `mainvar`, `constant` und `scalar`.

      (%i1) sort ([aa, foo, bar, bb, baz, quux, cc, dd, A1, B1, C1]);
      (%o1)   [aa, bar, baz, bb, cc, dd, foo, quux, A1, B1, C1]
      (%i2) declare (aa, mainvar);
      (%o2)                         done
      (%i3) declare ([baz, quux], constant);
      (%o3)                         done
      (%i4) declare ([A1, B1], scalar);
      (%o4)                         done
      (%i5) sort ([aa, foo, bar, bb, baz, quux, cc, dd, A1, B1, C1]);
      (%o5)   [baz, quux, A1, B1, bar, bb, cc, dd, foo, C1, aa]

  Ordne nicht atomare Ausdrücke.

      (%i1) sort ([f(1), f(2), f(2, 1), g(1), g(1, 2), g(n), f(n, 1)]);
      (%o1) [f(1), g(1), g(1, 2), f(2), f(2, 1), g(n), f(n, 1)]
      (%i2) sort ([foo(1), X[1], X[k], foo(k), 1, k]);
      (%o2)            [1, foo(1), X , k, foo(k), X ]
                                    1              k

Funktion: ordermagnitudep (expr_1, expr_2)

  Ist eine Aussagefunktion, die das Ergebnis `true` hat, wenn die Argumente expr_1 und expr_2 Zahlen, Konstante oder konstante Ausdrücke repräsentieren und expr_1 kleiner als expr_2 ist. Sind die Argumente nicht der Größe nach vergleichbar, wird die Ordnung durch die Aussagefunktion `orderlessp` bestimmt.

  Wird die Aussagefunktion `ordermagnitudep` als Argument der Funktion `sort` verwendet, werden die Elemente einer Liste nach der Größe sortiert.

  Beispiele:

      (%i1) ordermagnitudep(1, 2);
      (%o1)                         true
      (%i2) ordermagnitudep(%e, %pi);
      (%o2)                         true
      (%i3) sort([%e, %pi, sin(1), 0, 1, 2, 3, 4]);
      (%o3)           [0, 1, 2, 3, 4, %e, %pi, sin(1)]
      (%i4) sort([%e, %pi, sin(1), 0, 1, 2, 3, 4], ordermagnitudep);
      (%o4)           [0, sin(1), 1, 2, %e, 3, %pi, 4]

Funktion: part (expr, n_1, …, n_k)

  Die Funktion `part` gibt einen Teilausdruck des Ausdrucks expr zurück. Der Ausdruck expr wird zuvor in das Format für die Anzeige umgewandelt.

  Der Teilausdruck wird durch die Indizes n_1, …, n_k ausgewählt. Zuerst wird der Teilausdruck n_1 ermittelt, von diesem der Teilausdruck n_2, u.s.w. Der zum Index n_k zuletzt gewonnene Teilausdruck ist dann das Ergebnis.

  `part` kann auch verwendet werden, um ein Element einer Liste oder die Zeile einer Matrix zu erhalten.

  Das letzte Argument einer `part`-Funktion kann eine Liste mit Indizes sein. In diesem Fall werden alle angegebenen Teilausdrücke als Ergebnis zurückgegeben. Zum Beispiel hat das Kommando `part(x + y + z, [1, 3])` das Ergebnis `z+x`.

  Die Systemvariable `piece` enthält den letzten Ausdruck, der bei der Verwendung einer `part`-Funktion ausgewählt wurde.

  Hat die Optionsvariable `partswitch` den Wert `true`, wird `end` zurückgegeben, wenn versucht wurde, einen Teilausdruck zu bilden, der nicht existiert, andernfalls wird eine Fehlermeldung ausgegeben.

  Siehe auch `inpart`, `substpart`, `substinpart`, `dpart` und `lpart`.

  Beispiele:

      (%i1) part(z+2*y+a,2);
      (%o1)                                 2 y
      (%i2) part(z+2*y+a,[1,3]);
      (%o2)                                z + a
      (%i3) part(z+2*y+a,2,1);
      (%o3)                                  2

  `example(part)` zeigt weitere Beispiele.

Funktion: partition (expr, var)

  Die Funktion `partition` gibt eine Liste mit zwei Ausdrücken zurück. Ist das Argument expr ein Produkt enthält das erste Element die Faktoren, die die Variable `var` enthalten, und das zweite Element enthält die übrigen Faktoren. Entsprechend enthält das erste Element die Terme einer Summe oder die Elemente einer Liste, die die Variable var enthalten, und das zweite Elemente die verbleibende Terme der Summe oder Elemente der Liste.

      (%i1) partition (2*a*x*f(x), x);
      (%o1)                     [2 a, x f(x)]
      (%i2) partition (a+b, x);
      (%o2)                      [b + a, 0]
      (%i3) partition ([a, b, f(a), c], a);
      (%o3)                  [[b, c], [a, f(a)]]

Optionsvariable: partswitch

  Standardwert: `false`

  Hat die Optionsvariable `partswitch` den Wert `true`, wird `end` zurückgegeben, wenn versucht wird, einen Teilausdruck zu bilden, der nicht existiert, andernfalls wird eine Fehlermeldung ausgegeben.

Funktion: pickapart (expr, n)

  Den Teilausdrücken in einer Tiefe n eines verschachtelten Ausdrucks werden Zwischenmarken zugewiesen. n ist eine ganze positive Zahl. Die Rückgabe von `pickapart` ist ein äquivalenter Ausdruck, der die Zwischenmarken enthält.

  Siehe auch `part`, `dpart`, `lpart`, `inpart` und `reveal`.

  Beispiele:

      (%i1) expr: (a+b)/2 + sin (x^2)/3 - log (1 + sqrt(x+1));
                                                2
                                           sin(x )   b + a
      (%o1)       - log(sqrt(x + 1) + 1) + ------- + -----
                                              3        2
      (%i2) pickapart (expr, 0);

                                                2
                                           sin(x )   b + a
      (%t2)       - log(sqrt(x + 1) + 1) + ------- + -----
                                              3        2

      (%o2)                          %t2
      (%i3) pickapart (expr, 1);

      (%t3)                - log(sqrt(x + 1) + 1)

                                        2
                                   sin(x )
      (%t4)                        -------
                                      3

                                    b + a
      (%t5)                         -----
                                      2

      (%o5)                    %t5 + %t4 + %t3
      (%i5) pickapart (expr, 2);

      (%t6)                 log(sqrt(x + 1) + 1)

                                        2
      (%t7)                        sin(x )

      (%t8)                         b + a

                               %t8   %t7
      (%o8)                    --- + --- - %t6
                                2     3
      (%i8) pickapart (expr, 3);

      (%t9)                    sqrt(x + 1) + 1

                                      2
      (%t10)                         x

                        b + a              sin(%t10)
      (%o10)            ----- - log(%t9) + ---------
                          2                    3
      (%i10) pickapart (expr, 4);

      (%t11)                     sqrt(x + 1)

                            2
                       sin(x )   b + a
      (%o11)           ------- + ----- - log(%t11 + 1)
                          3        2
      (%i11) pickapart (expr, 5);

      (%t12)                        x + 1

                         2
                    sin(x )   b + a
      (%o12)        ------- + ----- - log(sqrt(%t12) + 1)
                       3        2
      (%i12) pickapart (expr, 6);
                        2
                   sin(x )   b + a
      (%o12)       ------- + ----- - log(sqrt(x + 1) + 1)
                      3        2

Systemvariable: piece

  Die Systemvariable `piece` enthält den letzten Ausdruck, der bei der Verwendung einer `part`-Funktion ausgewählt wurde.

  Siehe auch `part` und `inpart`.

Funktion: psubst (list, expr)
Funktion: psubst (a, b, expr)

  `psubst(a, b, expr)` ist identisch mit `subst`. Siehe `subst`.

  Im Unterschied zu `subst` führt die Funktion `psubst` Substitutionen parallel aus, wenn das erste Argument list eine Liste mit Gleichungen ist.

  Siehe auch die Funktion `sublis`, um Substitutionen parallel auszuführen.

  Beispiel:

  Das erste Beispiel zeigt die parallele Substitution mit `psubst`. Das zweite Beispiel zeigt das Ergebnis für die Funktion `subst`. In diesem Fall werden die Substitutionen nacheinander ausgeführt.

      (%i4) psubst ([a^2=b, b=a], sin(a^2) + sin(b));
      (%o4)                           sin(b) + sin(a)
      (%i5) subst ([a^2=b, b=a], sin(a^2) + sin(b));
      (%o5)                              2 sin(a)

Funktion: rembox (expr, unlabelled)
Funktion: rembox (expr, label)
Funktion: rembox (expr)

  Die Funktion `rembox` entfernt Rahmen aus dem Ausdruck expr. `rembox(expr, unlabelled)` entfernt alle Rahmen, die keine Marke haben. `rembox(expr, label)` entfernt nur Rahmen, die mit der Marke label gekennzeichnet sind. `rembox(expr)` entfernt alle Rahmen.

  Rahmen werden mit den Funktionen `box`, `dpart` und `lpart` einem Ausdruck hinzugefügt.

  Beispiele:

      (%i1) expr: (a*d - b*c)/h^2 + sin(%pi*x);
                                        a d - b c
      (%o1)                sin(%pi x) + ---------
                                            2
                                           h

      (%i2) dpart (dpart (expr, 1, 1), 2, 2);
                              """""""    a d - b c
      (%o2)               sin("%pi x") + ---------
                              """""""      """"
                                           " 2"
                                           "h "
                                           """"

      (%i3) expr2: lpart (BAR, lpart (FOO, %, 1), 2);
                        FOO"""""""""""   BAR""""""""
                        "    """"""" "   "a d - b c"
      (%o3)             "sin("%pi x")" + "---------"
                        "    """"""" "   "  """"   "
                        """"""""""""""   "  " 2"   "
                                         "  "h "   "
                                         "  """"   "
                                         """""""""""

      (%i4) rembox (expr2, unlabelled);
                                        BAR""""""""
                         FOO"""""""""   "a d - b c"
      (%o4)              "sin(%pi x)" + "---------"
                         """"""""""""   "    2    "
                                        "   h     "
                                        """""""""""

      (%i5) rembox (expr2, FOO);
                                        BAR""""""""
                             """""""    "a d - b c"
      (%o5)              sin("%pi x") + "---------"
                             """""""    "  """"   "
                                        "  " 2"   "
                                        "  "h "   "
                                        "  """"   "
                                        """""""""""

      (%i6) rembox (expr2, BAR);
                         FOO"""""""""""
                         "    """"""" "   a d - b c
      (%o6)              "sin("%pi x")" + ---------
                         "    """"""" "     """"
                         """"""""""""""     " 2"
                                            "h "
                                            """"

      (%i7) rembox (expr2);
                                        a d - b c
      (%o7)                sin(%pi x) + ---------
                                            2
                                           h

Funktion: reveal (expr, depth)

  Ersetzt Teile des Ausdrucks expr in der ganzzahligen Tiefe depth durch eine beschreibende Zusammenfassung:

  - Summen und Differenzen werden durch `Sum(n)` ersetzt, wobei n die Anzahl der Terme der Summe oder Differenz ist.
  - Produkte werden durch `Product(n)` ersetzt, wobei n die Anzahl der Faktoren des Produktes ist.
  - Exponentiationen werden durch `Expt` ersetzt.
  - Quotienten werden durch `Quotient` ersetzt.
  - Die Negation wird durch `Negterm` ersetzt.
  - Listen werden durch `List(n)` ersetzt, wobei n die Anzahl der Elemente der Liste ist.

  Ist depth größer oder gleich der maximalen Tiefe des Ausdrucks expr, gibt `reveal` den Ausdruck expr unverändert zurück.

  `reveal` wertet die Argumente aus. `reveal` gibt die Zusammenfassung zurück.

  Beispiele:

      (%i1) e: expand ((a - b)^2)/expand ((exp(a) + exp(b))^2);
                                2            2
                               b  - 2 a b + a
      (%o1)               -------------------------
                              b + a     2 b     2 a
                          2 %e      + %e    + %e
      (%i2) reveal (e, 1);
      (%o2)                       Quotient
      (%i3) reveal (e, 2);
                                   Sum(3)
      (%o3)                        ------
                                   Sum(3)
      (%i4) reveal (e, 3);
                           Expt + Negterm + Expt
      (%o4)               ------------------------
                          Product(2) + Expt + Expt
      (%i5) reveal (e, 4);
                             2                 2
                            b  - Product(3) + a
      (%o5)         ------------------------------------
                               Product(2)     Product(2)
                    2 Expt + %e           + %e
      (%i6) reveal (e, 5);
                               2            2
                              b  - 2 a b + a
      (%o6)              --------------------------
                             Sum(2)     2 b     2 a
                         2 %e       + %e    + %e
      (%i7) reveal (e, 6);
                                2            2
                               b  - 2 a b + a
      (%o7)               -------------------------
                              b + a     2 b     2 a
                          2 %e      + %e    + %e

Funktion: sublis (list, expr)

  Führt im Unterschied zu der Funktion `subst` die Substitutionen der Liste list parallel und nicht nacheinander aus.

  Mit der Optionsvariablen `sublis_apply_lambda` wird die Vereinfachung von Lamda-Ausdrücken kontrolliert, nachdem die Substitution ausgeführt wurde.

  Siehe auch die Funktion `psubst`, um parallele Substitutionen auszuführen.

  Beispiele:

      (%i1) sublis ([a=b, b=a], sin(a) + cos(b));
      (%o1)                    sin(b) + cos(a)

Optionsvariable: sublis_apply_lambda

  Standardwert: `true`

  Kontrolliert, ob Lambda-Ausdrücke nach einer Substitution ausgewertet werden. Hat `sublis_apply_lambda` den Wert `true` werden Lambda-Ausdrücke ausgewertet. Ansonsten verbleiben diese nach der Substitution im Ausdruck.

Option variable: subnumsimp

  Default value: `false`

  If `true` then the functions `subst` and `psubst` can substitute a subscripted variable `f[x]` with a number, when only the symbol `f` is given.

  See also `subst`.

      (%i1) subst(100,g,g[x]+2);

      subst: cannot substitute 100 for operator g in expression g
                                                                 x
       -- an error. To debug this try: debugmode(true);

      (%i2) subst(100,g,g[x]+2),subnumsimp:true;
      (%o2)                          102

Funktion: subst (a, b, c)

  Substituiert a für b in den Ausdruck c. Das Argument b muss ein Atom oder ein vollständiger Teilausdruck von c sein. Zum Beispiel ist `x+y+z` ein vollständiger Teilausdruck von `2*(x+y+z)/w`, nicht aber `x+y`. Hat b nicht diese Eigenschaft, dann können möglicherweise die Funktionen `substpart` oder `ratsubst` angewendet werden.

  Hat b die Form `e/f`, kann `subst(a*f, e, c)` verwendet werden. Ist `b` von der Form `e^(1/f)`, dann kann `subst(a^f, e, c)` verwendet werden. Die Funktion `subst` erkennt auch den Ausdruck `x^y` in `x^-y`, so dass `subst(a, sqrt(x), 1/sqrt(x))` das Ergebnis `1/a` hat. a und b können auch die Namen von Operatoren oder Funktionen sein. Soll die unabhängige Variable in Ausdrücken mit Ableitungen substituiert werden, sollte die Funktion `at` verwendet werden.

  `subst` ist der Alias-Name für `substitute`.

  `subst(eq_1, expr)` und `subst([eq_1, ..., eq_k], expr)` sind weitere mögliche Formen. eq_i sind Gleichungen, die angeben, welche Substitutionen auszuführen sind. Für jede Gleichung wird die rechte Seite der Gleichung für die linke Seite in den Ausdruck expr substituiert.

  Hat die Optionsvariable `exptsubst` den Wert `true`, wird eine Substitution wie `y` für `%e^x` in einem Ausdruck der Form `%e^(a*x)` nicht ausgeführt.

  Hat die Optionsvariable `opsubst` den Wert `false`, führt die Funktion `subst` keine Substitution in einen Operator eines Ausdrucks aus. Zum Beispiel hat `(opsubst: false, subst(x^2, r, r+r[0]))` das Ergebnis `x^2+r[0]`.

  Beispiele:

      (%i1) subst (a, x+y, x + (x+y)^2 + y);
                                          2
      (%o1)                      y + x + a
      (%i2) subst (-%i, %i, a + b*%i);
      (%o2)                       a - %i b

  Weitere Beispiele werden mit `example(subst)` angezeigt.

Funktion: substinpart (x, expr, n_1, …, n_k)

  Die Funktion `substinpart` ist vergleichbar mit `substpart`. `substinpart` wirkt jedoch auf die interne Darstellung des Ausdrucks expr.

  Beispiele:

      (%i1) x . 'diff (f(x), x, 2);
                                    2
                                   d
      (%o1)                   x . (--- (f(x)))
                                     2
                                   dx
      (%i2) substinpart (d^2, %, 2);
                                        2
      (%o2)                        x . d
      (%i3) substinpart (f1, f[1](x + 1), 0);
      (%o3)                       f1(x + 1)

Funktion: substpart (x, expr, n_1, …, n_k)

  Substituiert x für den Teilausdruck, der mit den restlichen Argumenten der Funktion `substpart` ausgewählt wird. Es wird der neue Ausdruck expr zurückgegeben. x kann auch der Name eines Operators sein, der für einen Operator im Ausdruck expr substituiert wird. Zum Beispiel hat `substpart("+", a*b, 0)` das Ergebnis `b + a`).

  Mit dem Wert `true` für die Optionsvariable `inflag`, verhält sich die Funktion `substpart` wie `substinpart`.

  Beispiele:

      (%i1) 1/(x^2 + 2);
                                     1
      (%o1)                        ------
                                    2
                                   x  + 2
      (%i2) substpart (3/2, %, 2, 1, 2);
                                     1
      (%o2)                       --------
                                   3/2
                                  x    + 2
      (%i3) a*x + f(b, y);
      (%o3)                     a x + f(b, y)
      (%i4) substpart ("+", %, 1, 0);
      (%o4)                    x + f(b, y) + a

Funktion: symbolp (expr)

  Gibt `true` zurück, wenn expr ein Symbol ist, ansonsten `false`. Das Kommando `symbolp(x)` ist äquivalent zu `atom(x) and not numberp(x)`.

  Siehe auch Bezeichner.

Funktion: unorder ()

  Löscht die Ordnung, die mit dem letzten Aufruf der Funktionen `ordergreat` oder `orderless` erzeugt wurde.

  Siehe auch `ordergreat` und `orderless`.

  Beispiele:

      (%i1) unorder();
      (%o1)                          []
      (%i2) b*x + a^2;
                                         2
      (%o2)                       b x + a
      (%i3) ordergreat (a);
      (%o3)                         done
      (%i4) b*x + a^2;
       %th(1) - %th(3);
                                   2
      (%o4)                       a  + b x
      (%i5) unorder();
                                    2    2
      (%o5)                        a  - a

Funktion: verbify (f)

  Gibt das Verb des Symbols f zurück. Siehe auch das Kapitel Substantive und Verben, sowie `noun` und `nounify`.

  Beispiele:

      (%i1) verbify ('foo);
      (%o1)                          foo
      (%i2) :lisp $%
      $FOO
      (%i2) nounify (foo);
      (%o2)                          foo
      (%i3) :lisp $%
      %FOO

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